如圖,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,AC=12cm,點E從點A出發(fā)沿AB以每秒1cm的速度向點B運動,同時點D從點C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向點A運動,運動時間為t秒(0<t<6),過點D作DF⊥BC于點F.

(1)如圖①,在D、E運動的過程中,四邊形AEFD是平行四邊形,請說明理由;

(2)連接DE,當t為何值時,△DEF為直角三角形?

(3)如圖②,將△ADE沿DE翻折得到△A′DE,試問當t為何值時,四邊形 AEA′D為菱形?

 

【答案】

(1)先根據(jù)含30°角的直角三角形的性質可得DF=CD=×2t=t,即可得到DF="AE" ,由∠ABC=90°,DF⊥BC可得DF∥AE,即可證得結論;(2)秒或秒;(3)4

【解析】

試題分析:(1)先根據(jù)含30°角的直角三角形的性質可得DF=CD=×2t=t,即可得到DF="AE" ,由∠ABC=90°,DF⊥BC可得DF∥AE,即可證得結論;

(2)①顯然∠DFE < 90°,②當∠EDF=90°時,四邊形EBFD為矩形,③當∠DEF=90°時,此時∠ADE = 90°,分這三種情況根據(jù)直角三角形、矩形的性質求解即可;

(3)根據(jù)菱形的性質可得AE=AD,即可得到關于t的方程,再解出即可.

(1)∵DF⊥BC,∠C=30°

∴DF=CD=×2t=t

∵AE=t

∴DF="AE"

∵∠ABC=90°,DF⊥BC

∴DF∥AE  

∴四邊形AEFD是平行四邊形;

(2)①顯然 ∠DFE < 90°

②如圖(1),當∠EDF = 90°時,四邊形EBFD為矩形,

此時AE=AD,即,解得

③如圖(2),當∠DEF = 90°時,此時∠ADE = 90°

∴∠AED = 90°-∠A=30°

∴AD=AE,即,解得

綜上:當秒或秒時,⊿DEF為直角三角形;

(3)如圖(3),若四邊形AEA′D為菱形,則AE=AD

∴t=12-2t,解得t=4

∴當t=4時,四邊形AEA′D為菱形.

考點:動點問題的綜合題

點評:此類問題難度較大,在中考中比較常見,一般在壓軸題中出現(xiàn),需特別注意.

 

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