Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（1，4），拋物線與y軸交于點(diǎn)B（0，3），與x軸交于C，D兩點(diǎn)．點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）求C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)及△BCD的面積；
（3）若點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上，滿足S△PCD= S△BCD ， 求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線的頂點(diǎn)為A（1，4），

∴設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=a（x﹣1）2+4，

把點(diǎn)B（0，3）代入得，a+4=3，

解得a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4

（2）

解：由（1）知，拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4；

令y=0，則0=﹣（x﹣1）2+4，

∴x=﹣1或x=3，

∴C（﹣1，0），D（3，0）；

∴CD=4，

∴S△BCD= CD×|yB|= ×4×3=6

（3）

解：由（2）知，S△BCD= CD×|yB|= ×4×3=6；CD=4，

∵S△PCD= S△BCD，

∴S△PCD= CD×|yP|= ×4×|yP|=3，

∴|yP|= ，

∵點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上，

∴yP＞0，

∴yP= ，

∵拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4；

∴ =﹣（x﹣1）2+4，

∴x=1± ，

∴P（1+ ， ），或P（1﹣ ， ）

【解析】（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x﹣1）2+4，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求出a的值，即可得解；（2）令y=0，解方程得出點(diǎn)C，D坐標(biāo)，再用三角形面積公式即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)面積關(guān)系求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．