Question

（2010•鄂爾多斯）某數(shù)學(xué)興趣小組，利用樹影測(cè)量樹高，如圖（1），已測(cè)出樹AB的影長(zhǎng)AC為12米，并測(cè)出此太陽(yáng)光線與地面成30°夾角．（1.4，1.7）
（1）求出樹高AB；
（2）因水土流失，此時(shí)樹AB沿太陽(yáng)光線方向倒下，在傾倒過(guò)程中，樹影長(zhǎng)度發(fā)生了變化，假設(shè)太陽(yáng)光線于地面夾角保持不變（用圖（2）解答）
①求樹與地面成45°角時(shí)的影長(zhǎng)；
②求樹的最大影長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角△ABC中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函數(shù)即可求得AB的長(zhǎng)；
（2）①在△AB₁C₁中，已知AB₁的長(zhǎng)，即AB的長(zhǎng)，∠B₁AC₁=45°，∠B₁C₁A=30°．過(guò)B₁作AC₁的垂線，在直角△AB₁N中根據(jù)三角函數(shù)求得AN，BN；再在直角△B₁NC₁中，根據(jù)三角函數(shù)求得NC₁的長(zhǎng)．即可求解；
②當(dāng)樹與地面成60°角時(shí)影長(zhǎng)最大，根據(jù)三角函數(shù)即可求解．
解答：解：（1）AB=ACtan30°=12×=4≈7（米）．
答：樹高約為7米．

（2）作B₁N⊥AC₁于N．
①如圖（2），B₁N=AN=AB₁sin45°=（米）．
NC₁=NB₁tan60°=（米）．
AC₁=AN+NC₁=5+8=13（米）．
答：樹與地面成45°角時(shí)的影長(zhǎng)約為13米．

②如圖（2），當(dāng)樹與地面成60°角時(shí)影長(zhǎng)最大AC₂（或樹與光線垂直時(shí)影長(zhǎng)最大或光線與半徑為AB的⊙A相切時(shí)影長(zhǎng)最大）
AC₂=2AB₂≈14．
答：樹的最大影長(zhǎng)約為14米．
點(diǎn)評(píng)：一般三角形的計(jì)算可以通過(guò)作高線轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題．