Question

【題目】如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，E是BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)DE．
（1）DE與半圓O相切嗎？若相切，請(qǐng)給出證明；若不相切，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若AD、AB的長(zhǎng)是方程x2﹣10x+24=0的兩個(gè)根，求直角邊BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：DE與半圓O相切，理由為：

連接OD，BD，如圖所示：

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E為BC的中點(diǎn)，

∴DE=BE= BC，

∴∠EBD=∠EDB，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

又∵∠ABC=90°，即∠OBD+∠EBD=90°，

∴∠EDB+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，

∴DE為圓O的切線

（2）解：方程x2﹣10x+24=0，

因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）=0，

解得：x1=4，x2=6，

∵AD、AB的長(zhǎng)是方程x2﹣10x+24=0的兩個(gè)根，且AB＞AD，

∴AD=4，AB=6，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：BD= =2 ，

∵△ABD∽△ACB，

∴ = ，即 = ，

∴BC=3 ．

【解析】（1）DE與半圓O相切，理由為：連接OD，BD，由AB為半圓的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到一個(gè)角為直角，可得出三角形BDC為直角三角形，又E為斜邊BC的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)的定義及斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到ED=EB，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由OD=OB，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，根據(jù)∠EBO為直角，得到∠EBD與∠OBD和為90°，等量代換可得出∠ODE為直角，即DE與OD垂直，可得出DE為圓O的切線，得證；（2）利用因式分解法求出x2﹣10x+24=0的解，再根據(jù)AB大于AD，且AD和AB為方程的解，確定出AB及AD的長(zhǎng)，在直角三角形ABD中，利用勾股定理即可求出BD的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形相似即可求得BC的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了因式分解法和切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握已知未知先分離，因式分解是其次．調(diào)整系數(shù)等互反，和差積套恒等式．完全平方等常數(shù)，間接配方顯優(yōu)勢(shì)；切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．