Question

如圖：等圓⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點，⊙O₁經過⊙O₂的圓心，順次連接A、O₁、B、O₂．

（1）求證：四邊形AO₁BO₂是菱形；
（2）過直徑AC的端點C作⊙O₁的切線CE交AB的延長線于E，連接CO₂交AE于D，求證：CE=2DO₂；
（3）在（2）的條件下，若，求的值．

Answer 1

（1）根據等圓的性質可得，即可證得結論；（2）根據菱形的性質可得∠=∠，根據CE是⊙O₁的切線，AC是⊙O₁的直徑可得∠=∠=90°，即可證得△ACE∽△AO₂D，根據相似三角形的性質求解即可；（3）

解析試題分析：（1）根據等圓的性質可得，即可證得結論；
（2）根據菱形的性質可得∠=∠，根據CE是⊙O₁的切線，AC是⊙O₁的直徑可得∠=∠=90°，即可證得△ACE∽△AO₂D，根據相似三角形的性質求解即可；
（３）根據菱形的性質可得∥，即可證得△ACD∽△，再根據相似三角形的性質及求解即可．
（1）∵⊙O₁與⊙O₂是等圓,
∴
∴四邊形是菱形；
（2）∵四邊形是菱形  
∴∠=∠
∵CE是⊙O₁的切線，AC是⊙O₁的直徑
∴∠=∠=90°
∴△ACE∽△AO₂D 
∴，即；
（３）∵四邊形是菱形
∴∥ 
∴△ACD∽△
∴  
∴
∵    
∴． 
考點：圓的綜合題
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．