Question

【題目】如圖，矩形中，，，點分別在邊，上，點分別在，上，，交于點，記.

（1）若的值是1，當時，求的值.

（2）若的值是，求的最大值和最小值.

（3）若的值是3，當點是矩形的頂點，，時，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為；（3）的值為或.

【解析】

（1）作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，設EF交MN于點O．證明△FHE≌△MQN（ASA），即可解決問題．

（2）由題意：2a≤MN≤a，a≤EF≤a，當MN的長取最大時，EF取最短，此時k的值最大，最大值=，當MN的最短時，EF的值取最大，此時k的值最小，最小值為．

（3）連接FN，ME．由k=3，MP=EF=3PE，推出，推出，由△PNF∽△PME，推出=2，ME∥NF，設PE=2m，則PF=4m，MP=6m，NP=12m，接下來分兩種情形①如圖2中，當點N與點D重合時，點M恰好與B重合．②如圖3中，當點N與C重合，分別求解即可．

（1）作，，如圖1.

∵四邊形為正方形，

∴，，∴.

∵，

∴，，

∴，∴，

∴.

（2）∵，∴.

由題意得，，，

當取最長時，可取到最短，此時的值最大，最大值為，

當取最短時，可取到最長，此時的值最小，最小值為.

（3）連結，，

∵，，

∴，∴，

∴，

∴，.

設，則，，.

①當點與點重合時， 如圖2，點恰好與點重合，過點作于點，

∵，

∴，，，

∴.

②當點與點重合時，如圖3，過點作于點，

則，，

∴，

∴.

∵，

∴.

又∵，

∴，∴，

∴.

綜上所述，的值為或.