Question

（2009•順義區(qū)一模）取一副三角板按圖1拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點(diǎn)A依順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)大小為α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如圖所示．
試問：（1）當(dāng)α為多少度時(shí)，能使得圖2中AB∥DC；
（2）連接BD，當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，探尋∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使AB∥DC，只要證出∠CAC′=15°即可．
（2）當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，總有△EFC′存在．根據(jù)∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，又因?yàn)椤螮FC′+∠FEC′+∠C′=180°，得到∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°，則∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°．
解答：解：（1）由題意∠CAC′=α，
要使AB∥DC，須∠BAC=∠ACD，
∴∠BAC=30°，α=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°，
即α=15°時(shí)，能使得AB∥DC．

（2）連接BD，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小沒有變化，總是105°，
當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，總有△EFC′存在．
∵∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，∠CAC′=α，∠FEC′=∠C+α，
又∵∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°，
∴∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°，
又∵∠C′=45°，∠C=30°，
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°．
點(diǎn)評(píng)：本題需要把旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的判定和三角形內(nèi)角和定理相結(jié)合求解，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，注意“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”．