Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，4）．△AOB是等邊三角形，點(diǎn)B在第一象限．

（1）如圖①，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，把△AOP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得△ABD．

①如圖②，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（，0）時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②求在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，使△OPD的面積等于的點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（1）（，2）；（2）①點(diǎn)D坐標(biāo)（，），②點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．

【解析】

（1）過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F．依題意得BF＝OE＝2，利用勾股定理求出OF，然后可得點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）①由△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，證明△ABD≌△AOP．AP＝AD，∠DAB＝∠PAO，∠DAP＝∠BAO＝60°，△ADP是等邊三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD＝90°，∠DBG＝60°．利用三角函數(shù)求出BG＝BDcos60°，DG＝BDsin60°．然后求出OH，DH，然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

②本題分三種情況進(jìn)行討論，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0）：第一種情況：當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上時(shí)，第二種情況：當(dāng)P在x軸負(fù)半軸，OP＜時(shí)，第三種情況：當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，且OP≥時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D在x軸上或第四象限．綜合上面三種情況即可求出符合條件的值．

解：（1）如圖①，過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F，

∵△AOB是等邊三角形，OA＝4，

∴BF＝OE＝2．

在Rt△OBF中，

由勾股定理，得：，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，2）．

（2）①如圖②，過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，延長EB交DH于點(diǎn)G．則BG⊥DH．

∵△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，

∴△ABD≌△AOP．

∴∠ABD＝∠AOP＝90°，.

∵△AOB是等邊三角形，

∴∠ABO＝60°．

∵BE⊥OA，

∴∠ABE＝30°，

∴∠DBG＝60°，∠BDG＝30°．

在Rt△DBG中，.

∵sin60°＝，

∴DG＝DBsin60°＝，

∴，．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．

②點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為：（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．

假設(shè)存在點(diǎn)P，在它運(yùn)動(dòng)過程中，使△OPD的面積等于.

設(shè)OP＝x，下面分三種情況討論．

第一種情況：

當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上時(shí)，如圖③，BD＝OP＝x，

在Rt△DBG中，∠DBG＝60°，

∴DG＝BDsin60°＝，

∴.

∵△OPD的面積等于，

∴，.

解得：，（舍去）．

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（，0）．

第二種情況：

當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，且OP＜時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D在第一象限，如圖④，

在Rt△DBG中，∠DBG＝30°，BG＝BDcos30°＝．

∴，

∵△OPD的面積等于，

∴，.

解得：，.

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（，0）．點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（，0）．

第三種情況：

當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，且OP≥時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D在x軸上或第四象限，如圖⑤，

在Rt△DBG中，∠DBG＝60°，

∴DG＝BDsin60°＝．

∵△OPD的面積等于，

∴，.

解得：，（舍去）．

∴點(diǎn)P4的坐標(biāo)為：（，0）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1（，0）或P2（，0）或P3（，0）或P4（，span>0）．