(2007•嘉興)如圖,已知A(8,0),B(0,6),兩個動點P、Q同時在△OAB的邊上按逆時針方向(→O→A→B→O→)運動,開始時點P在點B位置,點Q在點O位置,點P的運動速度為每秒2個單位,點Q的運動速度為每秒1個單位.
(1)在前3秒內,求△OPQ的最大面積;
(2)在前10秒內,求P、Q兩點之間的最小距離,并求此時點P、Q的坐標;
(3)在前15秒內,探究PQ平行于△OAB一邊的情況,并求平行時點P、Q的坐標.

【答案】分析:(1)由于A(8,0),B(0,6),∴OB=6,OA=8,AB=10.在前3秒內,點P在OB上,點Q在OA上,設經(jīng)過t秒,點P,Q位置如圖.則OP=6-2t,OQ=t.∴△OPQ的面積A=OP•OQ=t(3-t),當t=時,Smax=
(2)在前10秒內,點P從B開始,經(jīng)過點O,點A,最后到達AB上,經(jīng)過的總路程為20;點Q從O開始,經(jīng)過點A,最后也到達AB上,經(jīng)過的總路程為10.其中P,Q兩點在某一位置重合,最小距離為0.設在某一位置重合,最小距離為0.
設經(jīng)過t秒,點Q被點P“追及”(兩點重合),則2t=t+6,∴t=6.∴在前10秒內,P,Q兩點的最小距離為0,點P,Q的相應坐標為(6,0).
(3)①設0≤t<3,則點P在OB上,點Q在OA上,OP=6-2t,OQ=t.若PQ∥AB,則=
=,
解得t=
此時,P(0,),Q(,0).(2分)
②設3≤t≤7,則點P,Q都在OA上,不存在PQ平行于△OAB一邊的情況.
③設7<t<8,則點P在AB上,點Q在OA上,AP=2t-14,AQ=8-t.若PQ∥OB,
=,∴=,
解得t=
此時,P(,),Q().(2分)
④設8≤t≤12,則兩點P,Q都在AB上,不存在PQ平行于△OAB一邊的情況.
⑤設12<t<15,則點P在OB上、點Q在AB上,BP=2t-24,BQ=18-t.
若PQ∥OA,則=,∴=
解得t=
此時,P(0,),Q(,).(2分)
解答:解:(1)∵A(8,0),B(0,6),∴OB=6,OA=8,AB=10.
在前3秒內,點P在OB上,點Q在OA上,設經(jīng)過t秒,點P,Q位置如圖.
則OP=6-2t,OQ=t.∴△OPQ的面積A=OP•OQ=t(3-t),(2分)
當t=時,Smax=.(2分)

(2)在前10秒內,點P從B開始,經(jīng)過點O,點A,最后到達AB上,經(jīng)過的總路程為20;點Q從O開始,經(jīng)過點A,最后也到達AB上,經(jīng)過的總路程為10.其中P,Q兩點在某一位置重合,最小距離為0.
設在某一位置重合,最小距離為0.
設經(jīng)過t秒,點Q被點P“追及”(兩點重合),則2t=t+6,∴t=6.∴在前10秒內,P,Q兩點的最小距離為0,點P,Q的相應坐標為(6,0).(4分)

(3)①設0≤t<3,則點P在OB上,點Q在OA上,OP=6-2t,OQ=t.
若PQ∥AB,則=,∴=,解得t=
此時,P(0,),Q(,0).(2分)
②設3≤t≤7,則點P,Q都在OA上,不存在PQ平行于△OAB一邊的情況.
③設7<t<8,則點P在AB上,點Q在OA上,AP=2t-14,AQ=8-t.
若PQ∥OB,則=,∴=,解得t=
此時,P(,),Q(,0).(2分)
④設8≤t≤12,則兩點P,Q都在AB上,不存在PQ平行于△OAB一邊的情況.
⑤設12<t<15,則點P在OB上、點Q在AB上,BP=2t-24,BQ=18-t.
若PQ∥OA,則=,∴=,
解得t=
此時,P(0,),Q(,).(2分)


點評:此題很復雜,把動點問題與實際相結合,有一定的難度,解答此題的關鍵是分別畫出t在不同階段Q的位置圖,結合相應的圖形解答.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源:2007年全國中考數(shù)學試題匯編《銳角三角函數(shù)》(02)(解析版) 題型:填空題

(2007•嘉興)如圖,AB是⊙O的直徑,CD是圓上的兩點(不與A、B重合),已知BC=2,tan∠ADC=,則AB=   

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:2007年全國中考數(shù)學試題匯編《圓》(06)(解析版) 題型:填空題

(2007•嘉興)如圖,AB是⊙O的直徑,CD是圓上的兩點(不與A、B重合),已知BC=2,tan∠ADC=,則AB=   

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:2007年全國中考數(shù)學試題匯編《三角形》(14)(解析版) 題型:解答題

(2007•嘉興)如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,點E是AD延長線上一點,DE=BC.
(1)求證:∠E=∠DBC;
(2)判斷△ACE的形狀(不需要說明理由).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:2007年浙江省嘉興市中考數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題

(2007•嘉興)如圖,AB是⊙O的直徑,CD是圓上的兩點(不與A、B重合),已知BC=2,tan∠ADC=,則AB=   

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:2007年浙江省嘉興市中考數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

(2007•嘉興)如圖,在菱形ABCD中,不一定成立的是( )

A.四邊形ABCD是平行四邊形
B.AC⊥BD
C.△ABD是等邊三角形
D.∠CAB=∠CAD

查看答案和解析>>

同步練習冊答案