Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸，y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（0＜＜5）秒.

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）以O(shè)C為直徑的⊙O′與BC交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，PM與⊙O′相切？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）在點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速

度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒         個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間和點(diǎn)P相同.

①記△BPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式。

②是否存在△NCQ為直角三角形的情形，若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

1）在中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12.

∴C(0,9)，B(12,0). （2分）

又拋物線經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，∴解得

∴.（4分）

于是令y=0，得，解得x₁=-3，x₂=12. ∴A(-3,0). （6分）

（2）當(dāng)t=3秒時(shí)，PM與⊙O′相切. （7分）連接OM.

∵OC是⊙O′的直徑，∴∠OMC=90°. ∴∠OMB=90°.

∵O′O是⊙O′的半徑，O′O⊥OP，∴OP是⊙O′的切線.

而PM是⊙O′的切線，∴PM=PO. ∴∠POM=∠PMO. （9分）

又∵∠POM+∠OBM=90°，∠PMO+∠PMB=90°，∴∠PMB=∠OBM. ∴PM=PB.

∴PO=PB=OB=6. ∴PA=OA+PO=3+6=9.此時(shí)t=3（秒）.

∴當(dāng)t=3秒，PM與⊙O′相切. （10分）

（3）①過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥OB于點(diǎn)D.

∵OC⊥OB，∴QD∥OC.∴△BQD∽△BCO. ∴=.

又∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴=，解得QD=.（11分）

∴S_△BPQ=BP•QD= .即S=.（12分）

S=.故當(dāng)時(shí)，S最大，最大值為.（14分）

②存在△NCQ為直角三角形的情形.

∵BC=BA=15，∴∠BCA=∠BAC，即∠NCM=∠CAO.

∴△NCQ欲為直角三角形，∠NCQ≠90°，只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°兩種情況.

當(dāng)∠NQC=90°時(shí)，∠NQC=∠COA=90°，∠NCQ=∠CAO，

∴△NCQ∽△CAO. ∴=.∴=，解得.（16分）

當(dāng)∠QNC=90°時(shí)，∠QNC=∠COA=90°，∠QCN=∠CAO，

∴△QCN∽△CAO. ∴=.∴=，解得.

綜上，存在△NCQ為直角三角形的情形，t的值為和.