Question

【題目】已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個實數根，且|m|＜|n|，拋物線y=x2+bx+c的圖象經過點A（m，0），B（0，n），如圖所示．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為拋物線的頂點為D，試求出點C，D的坐標，并判斷△BCD的形狀；
（3）點P是直線BC上的一個動點（點P不與點B和點C重合），過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，點Q在直線BC上，距離點P為 個單位長度，設點P的橫坐標為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵x2+4x+3=0，

∴x1=﹣1，x2=﹣3，

∵m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個實數根，且|m|＜|n|，

∴m=﹣1，n=﹣3，

∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經過點A（m，0），B（0，n），

∴ ，

∴ ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3，

（2）

解：令y=0，則x2﹣2x﹣3=0，

∴x1=﹣1，x2=3，

∴C（3，0），

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴頂點坐標D（1，﹣4），

過點D作DE⊥y軸，

∵OB=OC=3，

∴BE=DE=1，

∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，

∴∠OBC=∠DBE=45°，

∴∠CBD=90°，

∴△BCD是直角三角形

（3）

解：如圖，

∵B（0，﹣3），C（3，0），

∴直線BC解析式為y=x﹣3，

∵點P的橫坐標為t，PM⊥x軸，

∴點M的橫坐標為t，

∵點P在直線BC上，點M在拋物線上，

∴P（t，t﹣3），M（t，t2﹣2t﹣3），

過點Q作QF⊥PM，

∴△PQF是等腰直角三角形，

∵PQ= ，

∴QF=1，

當點P在點M上方時，即0＜t＜3時，

PM=t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，

∴S= PM×QF= （﹣t2﹣3t）=﹣ t2+ t，

如圖3，當點P在點M下方時，即t＜0或t＞3時，

PM=t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3），

∴S= PM×QF= （t2﹣3t）= t2﹣ t

【解析】（1）先解一元二次方程，然后用待定系數法求出拋物線解析式；（2）先解方程求出拋物線與x軸的交點，再判斷出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，從而得到結論；（3）先求出QF=1，再分兩種情況，當點P在點M上方和下方，分別計算即可．此題是二次函數綜合題，主要考查了一元二次方程的解法，待定系數法求函數解析式，等腰直角三角形的性質和判定，解本題的關鍵是判定△BCD是直角三角形．