Question

在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對角線AC上一點，F是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF．

（1）若E是線段AC的中點，如圖，求證：BE=EF；

（2）若E是線段AC或AC延長線上的任意一點，其它條件不變，如圖2、圖3，線段BE與EF有怎樣的數(shù)量關系，直接寫出你的猜想；并選擇一種情況給予證明．

 

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC，

又∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵E是線段AC的中點，

∴∠CBE= ∠ABC=30°，AE=CE，∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF，

∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBE=∠F，∴BE=EF；

（2）圖2：BE=EF．圖3：BE=EF．

圖2證明如下：過點E作EG∥BC，交AB于點G，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°……6分

又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等邊三角形，∴AG=AE，…………7分

∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，…………8分

又∵∠BGE=∠ECF=120°，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF；……9分.

圖3證明與圖2類似，請酌情賦分。