Question

【題目】如圖，在Rt△AOB中，∠ABO=30°，BO=4，分別以OA、OB邊所在的直線建立平面直角坐標(biāo)系，D點(diǎn)為x軸正半軸上的一點(diǎn)，以OD為一邊在第一象限內(nèi)作等邊△ODE．

（1）如圖①當(dāng)E點(diǎn)恰好落在線段AB上時，求E點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)D從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向移動，設(shè)點(diǎn)D到原點(diǎn)的距離為x，△ODE與△AOB重疊部分的面積為y，當(dāng)E點(diǎn)到達(dá)△AOB的外面，且點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）在（1）問的條件下，將△ODE在線段OB上向右平移如圖②，圖中是否存在一條與線段OO′始終相等的線段？如果存在，請直接指出這條線段；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（1，）；（2）y=﹣x2+2x﹣2（2＜x＜4）；（3）存在線段EF=OO'；理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，作EH⊥OB于點(diǎn)H，由BO=4，求得OE，然后求出OH，EH，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)題意，當(dāng)E點(diǎn)到達(dá)△AOB的外面，且點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時，2＜x＜4即可；

（3）假設(shè)存在，由OO′=4﹣2﹣DB，而DF=DB，從而得到EF=OO'．

解：（1）作EH⊥OB于點(diǎn)H，

∵△OED是等邊三角形，

∴∠EOD=60°．

又∵∠ABO=30°，

∴∠OEB=90°．

∵BO=4，

∴OE=OB=2．

∵△OEH是直角三角形，且∠OEH=30°，

∴OH=OE=1，EH=，

∵點(diǎn)E在第一象限內(nèi)，

∴E（1，），

故答案為：E（1，）；

（2）當(dāng)2＜x＜4，符合題意，如圖，

由（1）知∠OEB=90°，∠E′=60°，

所求重疊部分四邊形OD′NE的面積為：

S△OD′E′﹣S△E′EN=OD×EH﹣E′E×EN=x2﹣×（x﹣2）=﹣x2+2x﹣2

∴y=﹣x2+2x﹣2（2＜x＜4），

故答案為：y=﹣x2+2x﹣2（2＜x＜4）；

（3）存在線段EF=OO'．

∵∠ABO=30°，∠EDO=60°，

∴∠ABO=∠DFB=30°，

∴DF=DB，

∴OO′=4﹣2﹣DB=2﹣DB=2﹣DF=ED﹣DF=EF，

故答案為：存在線段EF=OO'．