Question

【題目】已知拋物線y＝x2+bx+c，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（﹣4，0）和點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）確定拋物線的表達(dá)式，并求出C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖1，拋物線上存在一點(diǎn)E，使△ACE是以AC為直角邊的直角三角形，求出所有滿足條件的點(diǎn)E坐標(biāo)；

（3）如圖2，M，N是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)的N左側(cè)），分別過(guò)點(diǎn)M，N作PM∥x軸，PN∥y軸，PM，PN交于點(diǎn)P．點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終保持MN＝不變，當(dāng)△MNP的兩條直角邊長(zhǎng)成二倍關(guān)系時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出直線MN的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+3x﹣4，C（0，﹣4）；（2）E（﹣，﹣）或E（﹣，）；（3）MN的解析式為或．

【解析】

(1)將點(diǎn)B(﹣4，0)和點(diǎn)A(1，0)代入函數(shù)解析式即可求解；

(2)分兩種情況：當(dāng)CE⊥AC時(shí)，設(shè)CE的解析式為y=kx﹣4，求出E的坐標(biāo)(k﹣3，k2﹣3k﹣4)，再由勾股定理可求k的值；⊥AC時(shí)，則∥CE，設(shè)的解析式為y=-x+m，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)分兩種情況：設(shè)P(s，t)，當(dāng)AP=2MP時(shí)，M(s﹣1，t)，N(s，t+2)，可得(s﹣1)2+3(s﹣1)﹣4=t，s2+3s﹣4=t+2，求出s=0，t=﹣，進(jìn)而求出M(﹣1，﹣6)，N(0，﹣4)，利用待定系數(shù)法即可求MN的直線解析式；當(dāng)MP=2AP時(shí)，M(s﹣2，t)，N(s，t+1)，可得(s﹣2)2+3(s﹣2)﹣4=t，s2+3s﹣4=t+1，求出s=﹣，t=﹣，進(jìn)而求出M(﹣，﹣)，N(﹣，﹣)，利用待定系數(shù)法即可求MN的解析式．

(1)∵點(diǎn)B(﹣4，0)和點(diǎn)A(1，0)在拋物線上，

∴，

解得，

∴，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，﹣4)；

(2)當(dāng)CE⊥AC時(shí)，

設(shè)CE的解析式為y=kx﹣4，

∴，

得：，

∴x=0(舍)或x=k﹣3，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(k﹣3，k2﹣3k﹣4)，

AC2==17，

EA2=(k﹣3-1)2+(k2﹣3k﹣4)2，EC2=(k﹣3)2+(k2﹣3k-4+4)2，

∵AC2+EC2=EA2，

∴17+(k﹣3)2+(k2﹣3k)2=(k﹣4)2+(k2﹣3k﹣4)2，

解得：k=3(舍去)，k=-，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣，﹣)；

當(dāng)⊥AC時(shí)，

∵CE⊥AC，

∴∥CE，

設(shè)的解析式為y=-x+m，

點(diǎn)A(1，0)在直線上，

∴，

∴，

解得：x=1(舍去)或x，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣，)；

綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣，﹣)或(﹣，)；

(3)設(shè)P(s，t)，

當(dāng)NP=2MP時(shí)，

∵MN=，且，

∴MP=1，NP=2，

∴M(s﹣1，t)，N(s，t+2)，

∵M、N在拋物線上，

∴(s﹣1)2+3(s﹣1)﹣4=t，s2+3s﹣4=t+2，

解得：s=0，t=﹣，

∴M(﹣1，﹣6)，N(0，﹣4)，

設(shè)直線MN的解析式為，

則，

解得：，

∴直線MN的解析式為y=2x﹣4；

當(dāng)MP=2AP時(shí)，

∵MN=，

同理：MP=2，AP=1，

∴M(s﹣2，t)，N(s，t+1)，

∵M、N在拋物線上，

∴(s﹣2)2+3(s﹣2)﹣4=t，s2+3s﹣4=t+1，

∴s=﹣，t=﹣，

∴M(﹣，﹣)，N(﹣，﹣)，

設(shè)直線MN的解析式為，

則，

解得：，

∴直線MN的解析式為y=x；

綜上所述：MN的解析式為或．