Question

【題目】如圖，在等腰中，，點是內一點，連接，且，設.

（1）如圖1，若，將繞點順時針旋轉至，連結，易證為等邊三角形，則 ， ；

（2）如圖2，若，則 ， ；

（3）如圖3，試猜想和之間的數(shù)量關系，并給予證明.

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）

【解析】

（1）將△PBC繞點C順時針旋轉90°至△DAC，連結DP，只要證明△DAP為等邊三角形，即可解決問題；
（2）將△PBC繞點C順時針旋轉90°至△DAC，連結DP，只要證明△DAP為等腰直角三角形，即可解決問題；
（3）將△PBC繞點C順時針旋轉90°至△DAC，連結DP，只要證明△BPA≌△BPD（SSS），即可解決問題；

解：（1）如圖1中，

由旋轉不變性可知： ，，，

∵在等腰中，，，

∴，CP為三線合一的線

∴ ，

∴

在中，，，

∴為等腰直角三角形
∴，
∴，

∴△APD是等邊三角形，
∴∠ADP=∠APD=60°，
∵∠CDP=∠CPD=45°，
∴∠ADC=∠APC=∠CPB=105°，
∴∠APB=360°-105°-105°=150°，
∴α=150°，β=105°，
故答案為150°，105°．

（2）將△PBC繞點C順時針旋轉90°至△DAC，連結DP．

由旋轉不變性可知：BP=AD，CD=CP，∠DCP=90°，

∴為等腰直角三角形
∴，
∵，

，
∴，，
∴△ADP是等腰直角三角形，
∴∠APD=90°，∠ADP=45°，
∴∠APC=135°，∠BPC=∠ADC=90°，
∴∠APB=360°-135°-90°=135°，
∴α=135°，β=90°，
故答案為135°，90°．

（3）將△PBC繞點C順時針旋轉90°至△DAC，連結DP，延長PB交AD與S，
由旋轉不變性可知：BP=AD，CD=CP，∠DCP=90°，

∴為等腰直角三角形
∴，
∵，

∴PA=PD，
∵∠BPC+∠CPS=180°，∠BPC=∠ADC，
∴∠ADC+∠CPS=180°，
∴∠PSD+∠PCD=180°，
∴∠PSD=90°，
∴PS⊥AD，

∵PA=PD，

∴△ADP是等腰直角三角形，
∴SA=SD，

∴△ABP是等腰直角三角形，
∴BA=BD，
∵BP=BP，PA=PD，BA=BD，
∴△BPA≌△BPD（SSS），
∴∠APB=∠BPD，
∴ ∠BPD-∠BPC=∠CPD=45°，
即： ．