如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(A點在B點左側(cè)),與y軸交于點C,對稱軸為直線,OD平分∠BOC交拋物線于點D(點D在第一象限).
(1)求拋物線的解析式和點D的坐標(biāo);
(2)在拋物線的對稱軸上,是否存在一點P,使得△BPD的周長最小?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)點M是拋物線上的動點,在x軸上是否存在點N,使A、D、M、N四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的M點坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)由于A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,根據(jù)對稱軸方程即可求出B點的坐標(biāo),然后將它們代入拋物線的解析式中即可求出待定系數(shù)的值;OD平分∠BOC,那么直線OD的解析式為y=x,聯(lián)立拋物線的解析式即可求出D點的坐標(biāo);
(2)由于BD的長為定值,若△BPD的周長最短,那么PB+PD應(yīng)該最短,由于A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,連接AD,直線AD與對稱軸的交點即為所求的P點,可用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式,聯(lián)立拋物線對稱軸方程即可得到P點坐標(biāo);
(3)此題要分兩種情況討論:
①以AD為對角線的平行四邊形AMDN,此時MD∥x軸,則M、D的縱坐標(biāo)相同,由此可求得M點的坐標(biāo);
②以AD為邊的平行四邊形ADNM,由于平行四邊形是中心對稱圖形,可求得△ADM≌△ADN,即M、N縱坐標(biāo)的絕對值相等,可據(jù)此求出M點的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵OA=2
∴A(-2,0)
∵A與B關(guān)于直線對稱
∴B(3,0),
由于A、B,兩點在拋物線上,
;
解得

過D作DE⊥x軸于E
∵∠BOC=90°,OD平分∠BOC
∴∠DOB=45°,∠ODE=45°,
∴DE=OE
即xD=yD,
,
解得x1=2,x2=-3(舍去)
∴D(2,2);(4分)

(2)存在
∵BD為定值,
∴要使△BPD的周長最小,只需PD+PB最小
∵A與B關(guān)于直線對稱,
∴PB=PA,只需PD+PA最小
∴連接AD,交對稱軸于點P,此時PD+PA最小,(2分)
由A(-2,0),D(2,2)可得
直線AD:(1分)
,
∴存在點,使△BPD的周長最�。�1分)

(3)存在.
(i)當(dāng)AD為平行四邊形AMDN的對角線時,MD∥AN,即MD∥x軸
∴yM=yD,
∴M與D關(guān)于直線對稱,
∴M(-1,2)(1分)
(ii)當(dāng)AD為平行四邊形ADNM的邊時,
∵平行四邊形ADNM是中心對稱圖形,△AND≌△ANM
∴|yM|=|yD|,
即yM=-yD=-2,
∴令,即x2-x-10=0;
解得,(2分)
綜上所述:滿足條件的M點有三個M(-1,2),,-2).(1分)
點評:此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等,需注意的是(3)題在不確定平行四邊形邊和對角線的情況下需要分類討論,以免漏解.
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精英家教網(wǎng)如圖,拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點,與y軸交于點C(0,-3),設(shè)拋物線的頂點為D.
(1)求該拋物線的解析式與頂點D的坐標(biāo);
(2)以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎?為什么?
(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點P,使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似?若存在,請指出符合條件的點P的位置,并直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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精英家教網(wǎng)如圖,拋物線與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點,且x1<x2,與y軸交于點C(0,-4),其中x1,x2是方程x2-4x-12=0的兩個根.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M是線段AB上的一個動點,過點M作MN∥BC,交AC于點N,連接CM,當(dāng)△CMN的面積最大時,求點M的坐標(biāo);
(3)點D(4,k)在(1)中拋物線上,點E為拋物線上一動點,在x軸上是否存在點F,使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的點F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(2012•歷下區(qū)一模)如圖,拋物線與x軸交于A(-1,0),B(4,0)兩點,與y軸交于C(0,3),M是拋物線對稱軸上的任意一點,則△AMC的周長最小值是
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,拋物線與y軸交于點A(0,4),與x軸交于B、C兩點.其中OB、OC是方程的x2-10x+16=0兩根,且OB<OC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)直線AC上是否存在點D,使△BCD為直角三角形.若存在,求所有D點坐標(biāo);反之說理;
(3)點P為x軸上方的拋物線上的一個動點(A點除外),連PA、PC,若設(shè)△PAC的面積為S,P點橫坐標(biāo)為t,則S在何范圍內(nèi)時,相應(yīng)的點P有且只有1個.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,拋物線與x軸交于A、B(6,0)兩點,且對稱軸為直線x=2,與y軸交于點C(0,-4).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M是拋物線對稱軸上的一個動點,連接MA、MC,當(dāng)△MAC的周長最小時,求點M的坐標(biāo);
(3)點D(4,k)在(1)中拋物線上,點E為拋物線上一動點,在x軸上是否存在點F,使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形,如果存在,直接寫出所有滿足條件的點F的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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