Question

已知關于x的方程x²-2（m+1）x+m²=0，
（1）當m取什么值時，原方程沒有實數根；
（2）對m選取一個合適的非零整數，使原方程有兩個實數根，并求這兩個實數根的平方和．

Answer 1

分析：（1）要使原方程沒有實數根，只需△＜0即可，然后可以得到關于m的不等式，由此即可求出m的取值范圍；
（2）根據（1）中求得的范圍，在范圍之外確定一個m的值，再根據根與系數的關系求得兩根的平方和．

解答：解：（1）∵方程沒有實數根
∴b²-4ac=[-2（m+1）]²-4m²=8m+4＜0，
∴m＜-

1

2

，
∴當m＜-

1

2

時，原方程沒有實數根；
（2）由（1）可知，m≥-

1

2

時，方程有實數根，
∴當m=1時，原方程變?yōu)閤²-4x+1=0，
設此時方程的兩根分別為x₁，x₂，
則x₁+x₂=4，x₁•x₂=1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16-2=14，
∴當m=1時，原方程有兩個實數根，這兩個實數根的平方和是14．

點評：此題要求學生能夠用根的判別式求解字母的取值范圍，熟練運用根與系數的關系求關于兩個根的一些代數式的值．