Question

星期天，李大爺帶著小孫子在公園放風箏，風箏從A處起飛，幾分鐘后便飛達C處，此時站在AQ延長線上B處的小孫子發(fā)現(xiàn)自己的位置與風箏和一燈桿PQ的頂點P在同一直線上．已知燈桿高為10m，若在B處測及燈桿頂點P的仰角為30°，A處測得點P的仰角為45°，在A處背向旗桿又測得風箏的仰角為75°，若繩子在空中視為一條線段，求繩子AC長為多少m？（結果保留根號）

Answer 1

分析：過點A作AD垂直BC交BC于點D，在RT△PQD中求出BQ，在RT△PQA中求出AQ，在RT△BAD中求出AD，然后利用三角形的外角的知識求出∠C的度數，在RT△ACD中可求出AC．

解答：解：過點A作AD垂直BC交BC于點D，

由題意得，PQ=10m，∠B=30°，∠PAQ=45°，∠CAE=75°，
在RT△PQB中，可得BQ=

PQ

tan∠B

=10

3

m；
在RT△PQA中，可得AQ=

PQ

tan∠PAQ

=10m，
故AB=BQ+QA=（10+10

3

）m，
在RT△ABD中，可得AD=AB×sin∠B=（5+5

3

）m，
又∵∠CAE=75°，
∴∠C=∠CAE-∠B=45°，
在RT△ACD中，AC=

AD

sin∠C

=（5

2

+5

6

）m．
答：繩子AC的長度為（5

2

+5

6

）m．

點評：此題考查了解直角三角形的應用，相似三角形的判定與性質，解答本題需要我們構造直角三角形，將實際問題轉化為數學模型，有一定難度．