Question

梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=α（0°＜α＜90°），AB=DC=3，BC=5．點(diǎn)P為射線BC上動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)E在直線DC上，且∠APE=α．記∠PAB=∠1，∠EPC=∠2，BP=x，CE=y．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，寫出并證明∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系；
（2）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，（1）中得到的關(guān)于∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，是否改變？若認(rèn)為不改變，請(qǐng)證明；若認(rèn)為會(huì)改變，請(qǐng)求出不同于（1）的數(shù)量關(guān)系，并指出相應(yīng)的x的取值范圍；
（3）若，試用x的代數(shù)式表示y．

Answer 1

【答案】分析：（1）∠APC是△ABP的外角，根據(jù)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和易得∠1=∠2；
（2）當(dāng)BP＞5時(shí)，∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系顯然會(huì)改變．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得新的關(guān)系；
（3）分兩種情形分別求解．①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，根據(jù)△ABP∽△PCE得關(guān)系求解；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)△EPC∽△EGP得關(guān)系求解．
解答：（1）∠1=∠2
證明：∵∠APC=∠ABC+∠1，又∠APC=∠APE+∠2，
∴∠ABC+∠1=∠APE+∠2，
∵∠ABC=α=∠APE，∴∠1=∠2
（2）會(huì)改變，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，即x＞5時(shí)
∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系不同于（1）的數(shù)量關(guān)系．
解：∵∠APE=α=∠ABC，∴∠APB=α-∠2，-------------------（1分）
∵∠ABC+∠BAP+∠APB=180°，∴α+∠1+α-∠2=180°，----（1分）
∴∠1-∠2=180°-2α．-------------------------------------------------（1分）

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，
∵∠1=∠2，∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE，-------------------------------------------------------（1分）
∴，------------------------------------------------------------（1分）
即，∴．------------------------------------（2分）
②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，
可得△EPC∽△EGP，∴EP²=EC•EG--------------------------（1分）
作AM∥CD．
∵AB=3，cosα=，
∴BM=2．
∴
作EK⊥BP，由得，∴
∴，
于是
即
亦即-----------------------------------------------（2分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查梯形中有關(guān)相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，特別是動(dòng)態(tài)問題綜合性強(qiáng)，難度大．