Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A，C在坐標(biāo)軸上，OA=60cm，OC=80cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以5cm/s的速度沿x軸勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C即停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
（1）過點(diǎn)P作對(duì)角線OB的垂線，垂足為點(diǎn)T．求PT的長y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)O關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)O′恰好落在對(duì)角線OB上時(shí)，求此時(shí)直線AP的函數(shù)解析式；
（3）探索：以A，P，T三點(diǎn)為頂點(diǎn)的△APT的面積能否達(dá)到矩形OABC面積的

1

4

？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）在矩形OABC中，
因?yàn)镺A=60，OC=80，
所以O(shè)B=AC=

602+802

=100．
因?yàn)镻T⊥OB，
所以Rt△OPT∽Rt△OBC．
因?yàn)?span mathtag="math" >

PT

BC

=

OP

OB

，即

PT

60

=

5t

100

，
所以y=PT=3t．
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)即停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)t的最大值為

80

5

=16，
所以，t的取值范圍是0≤t≤16．

（2）（如圖2）當(dāng)O點(diǎn)關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)O'恰好在對(duì)角線OB上時(shí)，A，T，P三點(diǎn)在
一條直線上．
所以AP⊥OB，∠1=∠2．
所以Rt△AOP∽Rt△OCB，
所以

OP

CB

=

AO

OC

．
所以O(shè)P=45．
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（45，0）．
設(shè)直線AP的函數(shù)解析式為y=kx+b．
將點(diǎn)A（0，60）和點(diǎn)P（45，0）代入解析式，
得

60=0+b 0=45k+b

，
解這個(gè)方程組得

k=- 4 3 b=60

．
所以此時(shí)直線AP的函數(shù)解析式是y=-

4

3

x+60．

（3）由（2）知，當(dāng)t=

45

5

=9時(shí)，A，T，P三點(diǎn)在一條直線上，此時(shí)點(diǎn)A，T，P不構(gòu)
成三角形．
所以分兩種情況：
1、當(dāng)0＜t＜9時(shí)，點(diǎn)T位于△AOP的內(nèi)部（如圖1），過A點(diǎn)作AE⊥OB，垂足為點(diǎn)E，
由AO•AB=OB•AE可得AE=48．
所以S_△APT=S_△AOP-S_△ATO-S_△OTP=

1

2

×60×5t-

1

2

×4t×48-

1

2

×4t×3t=-6t²+54t．
若S_△APT=

1

4

S_矩形OABC，
則-6t²+54t=1200，即t²-9t+200=0．
此時(shí)，△=（-9）²-4×1×200＜0，
所以該方程無實(shí)數(shù)根．
所以當(dāng)0＜t＜9時(shí)，以A，P，T為頂點(diǎn)的△APT的面積不能達(dá)到矩形OABC面積的

1

4

．
2、當(dāng)9＜t≤16時(shí)，點(diǎn)T位于△AOP的外部．
此時(shí)S_△APT=S_△ATO+S_△OTP-S_△AOP=6t²-54t．
若S_△APT=

1

4

S_矩OABC，
則6t²-54t=1200，即t²-9t-200=0．
解得t1=

9+ 881

2

，t2=

9- 881

2

＜0（舍去）．
由于881＞625=25²，
所以t=

9+ 881

2

＞

9+ 625

2

=17．
而此時(shí)9＜t≤16，
所以t=

9+ 881

2

也不符合題意，應(yīng)舍去．
所以當(dāng)9＜t≤16時(shí)，以A，P，T為頂點(diǎn)的△APT的面積也不能達(dá)到矩形OABC面積的

1

4

．
綜上所述，以A，P，T為頂點(diǎn)的△APT的面積不能達(dá)到矩形OABC面積的

1

4

．