Question

【題目】如圖①，四邊形和四邊形都是正方形，且，，正方形固定，將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角()．

（1）如圖②，連接、，相交于點(diǎn)，請判斷和是否相等？并說明理由；

（2）如圖②，連接，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為直角三角形時(shí)，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；

（3）如圖③，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接、、，在正方形的旋轉(zhuǎn)過程中，的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個(gè)最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）相等，理由見解析；（2）和；（3）存在，最大值為．

【解析】

（1）由四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形知BC＝CD，CF＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，從而得∠BCG＝∠DCE，證△BCG≌△DCE得BG＝DE；
（2）分兩種情況求解可得；
（3）由，知當(dāng)點(diǎn)P到BD的距離最遠(yuǎn)時(shí)，△BDP的面積最大，作PH⊥BD，連接CH、CP，則PH≤CH＋CP，當(dāng)P、C、H三點(diǎn)共線時(shí)，PH最大，此時(shí)△BDP的面積最大，據(jù)此求解可得．

（1）證明：相等

∵四邊形和四邊形都是正方形，

∴，，，

∴，即，

∴；

∴BG=DE

（2）如圖1，∠ACG=90°時(shí)，旋轉(zhuǎn)角；

如圖2，當(dāng)∠ACG=90°時(shí)，旋轉(zhuǎn)角；

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為45°或225°；

（3）存在

∵如圖3，在正方形中，，

∴，

∴當(dāng)點(diǎn)到的距離最遠(yuǎn)時(shí)，的面積最大，

作，連接，，則

當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最大，此時(shí)的面積最大．

∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∴

此時(shí)，，

∴．