Question

已知關(guān)于x的方程：x²－(m－2)x－＝0．

(1)求證：無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根；

(2)若這個方程的兩個實根x₁、x₂滿足|x₂|＝|x₁|＋2，求m的值及相應(yīng)的x₁、x₂．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明： 　　∵Δ＝[－(m－2)]2－4×－(－) 　�。�2m2－4m＋4＝2(m－1)2＋2， 　　又∵無論m為什么實數(shù)時，總有 　　2(m－1)2≥0， 　　∴2(m－1)2＋2＞0． 　　∴Δ＞0． 　　∴無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根． 　　(2)解：∵x1·x2＝－≤0， 　　∴x1≤0，x2≥0，或x1≥0，x2≤0． 　�、偃魓1≤0，x2≥0， 　　則x2＝－x1＋2，∴x1＋x2＝2． 　　∴m－2＝2，∴m＝4． 　　這時x2－2x－4＝0， 　　∴x＝＝1±． 　　∴x1＝1－，x2＝1＋． 　�、谌魓1≥0，x2≤0， 　　則－x2＝x1＋2， 　　∴x1＋x2＝－2． 　　∴m－2＝－2，∴m＝0． 　　這時，x2－2x＝0， 　　∴x1＝0，x2＝－2．

提示：

(1)證明一元二次方程總有兩個相異實根，就是證明方程根的判別式的值大于零．第(1)問主要考查的知識點是一元二次方程根的判別式，主要方法是配方法． 　　(2)在第(2)問中，給出了方程兩實根的關(guān)系|x2|＝|x1|＋2，要化去絕對值的符號，就要分類討論．由已知方程的特點是常數(shù)項－≤0，可知方程兩實根x1，x2有兩種情況：x1≤0，x2≥0或x1≥0，x2≤0．