Question

【題目】如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，過B作OP的垂線BA，垂足為C，交⊙O于點A，連接PA，AO，并延長AO交⊙O于點E，與PB的延長線交于點D.

(1) 求證：PA是⊙O的切線；

(2) 若，且OC=4，求PA的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）3.

【解析】

試題分析: （1）連接OB，先由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得：OP是線段AB的垂直平分線，進而可得：PA=PB，然后證明△PAO≌△PBO，進而可得∠PBO=∠PAO，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠PBO=90°，進而可得：∠PAO=90°，進而可證：PA是⊙O的切線；

（2）連接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根據(jù)射影定理可求PC的值，從而可求OP的值，然后根據(jù)勾股定理可求AP的值．

試題解析：（1）連接OB，則OA=OB，

∵OP⊥AB，

∴AC=BC，

∴OP是AB的垂直平分線，

∴PA=PB，

在△PAO和△PBO中，

∵，

∴△PAO≌△PBO（SSS）

∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，

∵PB為⊙O的切線，B為切點，

∴∠PBO=90°，

∴∠PAO=90°，

即PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切線；

（2）連接BE，

∵，且OC=4，

∴AC=6，

∴AB=12，

在Rt△ACO中，

由勾股定理得：AO=，

∴AE=2OA=4，OB=OA=2，

在Rt△APO中，

∵AC⊥OP，

∴AC2=OCPC，

解得：PC=9，

∴OP=PC+OC=13，

在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.