Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB上一動點（與A、B不重合），將CD繞C點逆時針方向旋轉90°至CE，連接BE．
（1）求證：∠EBC=∠A；
（2）D點在移動的過程中，四邊形CDBE是否能成為特殊四邊形？若能，請指出D點的位置并證明你的結論；若不能，請說明理由．

Answer 1

證明：（1）∵CD繞C點逆時針方向旋轉90°至CE，
∴CE=CD，∠ECD=90°，
而∠BCA=90°，AC=BC，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA，
∴∠EBC=∠A；

（2）當D點為AB的中點時，四邊形CDBE能成為正方形．
理由如下：
當D點為AB的中點時，而∠C=90°，AC=BC，
∴CD⊥AB，即∠CDB=90°，
由（1）得∠EBC=∠A，
而∠CBA=∠A=45°，
∴∠EBA=90°，
∴四邊形CDBE為矩形，
又∵CD=CE，
∴四邊形CDBE能成為正方形．
分析：（1）CD繞C點逆時針方向旋轉90°至CE，根據旋轉的性質得CE=CD，∠ECD=90°，而∠BCA=90°，AC=BC，得∠ECB=∠DCA，則
△ECB≌△DCA，得到∠EBC=∠A；
（2）當D點為AB的中點時，而∠C=90°，AC=BC，則CD⊥AB，即∠CDB=90°，由（1）得∠EBC=∠A，而∠CBA=∠A=45°，
得到四邊形CDBE為矩形，由CD=CE，得到四邊形CDBE能成為正方形．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線段所夾的角等于旋轉角，也考查了等腰三角形的性質、三角形全等的判定與性質以及正方形的判定方法．