Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，將含30°的三角尺的直角頂點C落在第二象限．其斜邊兩端點A、B分別落在x軸、y軸上且AB＝12cm

（1）若OB＝6cm．

①求點C的坐標；

②若點A向右滑動的距離與點B向上滑動的距離相等，求滑動的距離；

（2）點C與點O的距離的最大值是多少cm．

Answer 1

【答案】（1）①點C的坐標為（－3，9）；②滑動的距離為6（﹣1）cm；（2）OC最大值12cm.

【解析】

試題（1）①過點C作y軸的垂線，垂足為D，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可；②設(shè)點A向右滑動的距離為x，根據(jù)題意得點B向上滑動的距離也為x，根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理解答即可；（2）設(shè)點C的坐標為（x，y），過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，證得△ACE∽△BCD，利用相似三角形的性質(zhì)解答即可．

試題解析：解：（1）①過點C作y軸的垂線，垂足為D，如圖1：

在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，則BC=6，

∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，

又∵∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，

∴BD=3，CD=3，

所以點C的坐標為（﹣3，9）；

②設(shè)點A向右滑動的距離為x，根據(jù)題意得點B向上滑動的距離也為x，如圖2：

AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6．

∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=12

在△A'O B'中，由勾股定理得，

（6﹣x）2+（6+x）2=122，解得：x=6（﹣1），

∴滑動的距離為6（﹣1）；

（2）設(shè)點C的坐標為（x，y），過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，如圖3：

則OE=﹣x，OD=y，

∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，

∴∠ACE=∠DCB，又∵∠AEC=∠BDC=90°，

∴△ACE∽△BCD，

∴，即，

∴y=﹣x，

OC2=x2+y2=x2+（﹣x）2=4x2，

∴當|x|取最大值時，即C到y軸距離最大時，OC2有最大值，即OC取最大值，如圖，即當C'B'旋轉(zhuǎn)到與y軸垂直時．此時OC=12，

故答案為：12．