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如圖,已知直線a的解析式為y=3x+6,直線a與x軸.y軸分別相交于A.B兩點,直線b經過B.C兩點,點C的坐標為(8,0).直線a沿x軸正方向平移m個單位(0<m<10)得到直線a′,直線a′與x軸.直線b分別相交于點M.N.
(1)求sin∠BCA的值;
(2)當△MCN的面積為時,求直線a′的函數解析式;
(3)將△MCN沿直線a′對折得到△MC′N,把△MC′N與四邊形AMNB的重疊部分面積記為S,求S關于m的函數解析式,并求當S最大時四邊形MCNC′的周長.

【答案】分析:(1)根據直線的性質,求出B、C的坐標,在直角三角形BOC中,根據正弦函數的定義即可求出sin∠BCA的值;
(2)求出S△ABC,根據△MCN∽△ABC,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方,求出M點的坐標,利用待定系數法求直線a′的函數解析式即可;
(3)根據翻折不變性,可知S△MC′N=S△MCN,利用(2)的結論即可得到其面積表達式,然后即可根據m的取值范圍推出三角形面積的最大值.
解答:解:(1)對于y=3x+6,可求B(0,6).(1分)
∴OB=6,
∵C(8,0),
∴OC=8.
∴BC==10.(1分)
∴sin∠BCA===.(1分)

(2)由y=3x+6可求A(-2,0),
∴AC=BC=10.
∴S△ABC=AC×OB=×10×6=30.(1分)
∵a′∥a,
∴△MCN∽△ABC.(1分)
=(2,
∵S△MCN=
=.(1分)
∴MC=5.
∴M(3,0).(1分)
設a′為y=3x+b,代入M(3,0)得b=-9.
∴直線a′解析式為y=3x-9.(1分)

(3)由(2)可知,當m=5時,點C′正好在AB上.
∴當5≤m≤10時,點C′在△ABC內,如圖所示.
此時,重疊部分面積S=S△MC′N=S△MCN
=(2•S△ABC=30×(2=(10-m)2,(2分)
當0≤m≤5時,點C在△AB外內,如圖所示.
∵AC=BC=10,
∴△ABC是等腰三角形,易知△AEM,
△BFN,△MCN都是與△ABC相似的等腰三角形.(1分)
∴S△AEM=(2•S△ABC=S△BFN,S△MCN=(2•S△ABC,
∴重疊部分面積S=30-(2×30×2-(2×30,
=6m-m2(1分)
綜上可知:
顯然,在5≤m<10范圍內,當m=5時,S最大=;而根據二次函數性質,在0<m<5范圍內,當m=時,S最大=10.
所以,在0<m<10時,當m=時,S最大=10.(1分)
易知MCNC是菱形,所以當S最大時,
四邊形MCNC的周長=4×(10-m)=4×(10-)=.(1分)
點評:此題考查了二次函數的圖象和直線及三角形面積的關系,綜合性很強,不僅要熟悉函數的圖象和性質,更要熟悉翻折變換和相似三角形的性質,難度較大,須認真讀題.
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