Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（1，0）為圓心畫(huà)圓，點(diǎn)M（4，4）在⊙A上，直線y=-x+b過(guò)點(diǎn)M，分別交x軸、y軸于B、C兩點(diǎn)．
（1）求⊙A的半徑和b的值；
（2）判斷直線BC與⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)P在⊙A上，點(diǎn)Q是y軸上C點(diǎn)下方的一點(diǎn)，當(dāng)△PQM為等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖可得，AM²=AC²+MC²，且AC=3，MC=4，代入可得；
（2）只要證明AB²=AM²+BM²，由圖可得出，BM²=MC²+BC²，由AB=，MC=4，BC=，代入即可求出；
（3）題目分為3種情況：①PQ=QM，②PM=MQ，③PQ=PM；點(diǎn)M（4，4），點(diǎn)P（5cosA，5sinA），Q（0，y）；
解答：解：（1）連接AM，作MD⊥OB，由點(diǎn)M（4，4），A（1，0），
∴|AM|==5，
即，⊙A的半徑為5；
把點(diǎn)M（4，4）代入y=-x+b得，4=-×4+b，
解得，b=7；

（2）由圖得，0=-x+7，得x=，
即OB=，
∴AB=-1=，BD=-4=，
∴AM²+MB²=5²+4²+=，
AB²==，
∴∠AMB=90°，
∴直線BC與⊙A相切；

（3）①當(dāng)∠PQM=90°時(shí)，
∵M(jìn)（4，4），
∴∠MOB=45°，
∴過(guò)點(diǎn)M作MP⊥OB于P，
點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，
∴∠PQM=90°；
∴Q（0，0）；
②過(guò)點(diǎn)M作MN⊥y軸，MD⊥x軸，
當(dāng)△MNQ≌△MDP時(shí)，∠PMQ=90°，
∴NQ=PD=2，MQ=MP，
∴Q（0，2）；
③當(dāng)∠QPM=90°時(shí)，P在y的左方，如圖，設(shè)P（m，n），Q（0，b）可得：
（I）4-m=n-b，（II）4-n=-m，（III）（1-m）²+n²=5²，
解方程組得，b=2，b=-8（b=2也符合條件，雖與②中b同，但直角不同），
第二情況：P在y的右方，同理得：
（I）m-4=n-b，（II）4-n=m，（III）（1-m）²+n²=5²，
解方程組得，b=3+ （舍去），b=3-．
綜合上述：Q的坐標(biāo)是（0，0）或（0，2）或（0，-8）或（0，3-）．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識(shí)的應(yīng)用，題中運(yùn)用圓與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識(shí)求出線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．考查了同學(xué)們綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力，是一道綜合性較好的題目．