Question

1．如圖，矩形OABC的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，8），沿直線OD折疊矩形，使點(diǎn)A正好落在BC上的E處，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O，A，E三點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式和AD的長；
（2）點(diǎn)P是此拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)．
①求當(dāng)△PAD的周長最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)Q是拋物線上的點(diǎn)，以點(diǎn)P、Q、O、D為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形？若能，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)，得到A（10，0），C（0，8），再由折疊可知：AD=ED，OA=OE=10，最后用勾股定理計(jì)算即可；                 
（2）由拋物線y=ax²+bx+c與x軸兩交點(diǎn)是O（0，0）、A（10，0）用交點(diǎn)式設(shè)解析式，用待定系數(shù)法即可；
（3）以點(diǎn)P、Q、O、D為頂點(diǎn)的四邊形能成為平行四邊形，分兩種情況討論：①若OD是平行四邊形的對(duì)角線，判斷出點(diǎn)P一定是拋物線的頂點(diǎn)
②OD是平行四邊形的一條邊．利用平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，即可．

解答 解：（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，8），
由矩形的性質(zhì)，得A（10，0）．
設(shè)AD=x，則DE=x，BD=8-x．
由折疊可知，OE=OA=10，∠OED=90°，
∴CE=6，BE=4，
∴E（6，8）．
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O、A、E三點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{100a+10b+c=0}\\{36a+6b+c=0}\end{array}\right.$    
解得   $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{10}{3}$x．
∵四邊形OABC是矩形，∠OED=90°，
∴∠CE0=∠BDE，
∴sin∠CE0=sin∠BDE，
即   $\frac{CO}{OE}=\frac{BE}{DE}$，
∴$\frac{8}{10}=\frac{4}{x}$，
得   x=5．
∴AD=5．
（2）∵AD=5，
∴D（10，5），△PAD的周長=AP+PD+AD=AP+PD+5．
依題意，要使AP+PD最小，則直線OD與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是P點(diǎn)．
設(shè)直線OD的解析式為y=kx，則有5=10k，
解得   k=$\frac{1}{2}$．
∴直線OD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x．
由拋物線的對(duì)稱性可知，此拋物線的對(duì)稱軸為x=5．
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y=$\frac{1}{2}$x=y=$\frac{1}{2}$×5=y=$\frac{5}{2}$．
即P（5，$\frac{5}{2}$）．
（3）能成為平行四邊形．此時(shí)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)有三對(duì)，即
能成為平行四邊形．
①若OD是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)：
由于拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過OD的中點(diǎn)，
∴當(dāng)平行四邊形OPDQ的頂點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)Q也在拋物線的對(duì)稱軸上，又點(diǎn)Q在拋物線上，故點(diǎn)P一定是拋物線的頂點(diǎn)．
∴Q （5，$\frac{25}{3}$）
又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，
所以，線段PQ必被OD的中點(diǎn)（5，$\frac{5}{2}$）平分
∴P（5，-$\frac{10}{3}$），
此時(shí)P（5，-$\frac{10}{3}$），Q （5，$\frac{25}{3}$）
②若OD是平行四邊形的一條邊時(shí)：
在平行四邊形ODPQ中，OD∥PQ且OD=PQ
設(shè)P（5，m），則Q（5-10，m-5）
將Q（5-10，m-5）代入拋物線解析式中，
解得m=-20
∴P（5，-20），Q（-5，-25）
在平行四邊形ODQP中，OD∥PQ且OD=PQ
設(shè)P（5，m），則Q（10+5，5+m）
將（10+5，5+m）代入拋物線解析式中，
解得m=-30
∴P（5，-30），Q（15，-25），
綜上：符合條件的點(diǎn)P、Q有3對(duì)，即
P₁（5，-20），Q₁（-5，-25）；P₂（5，-30），Q₂（15，-25）；
P₃（5，-$\frac{10}{3}$），Q₃（5，$\frac{25}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，分OD為平行四邊形的邊和對(duì)角線兩種是解本題的難點(diǎn)