Question

如圖，⊙0是△ABC的外接圓，點D在OC的延長線上，OD與AB相交于E，cosA=，∠D=30°．
（1）證明：BD是⊙0的切線；
（2）若OD⊥AB，AC=3，求⊙0的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB，求出∠A，根據(jù)圓周角定理求出∠BOD，求出∠OBD=90°，根據(jù)切線判定求出即可；
（2）根據(jù)垂徑定理和線段垂直平分線求出BC=AC=3，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定求出BO=BC，即可得出答案．
解答：（1）證明：連接OB，
∵cosA=，
∴∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°（圓周角定理），
∵∠D=30°，
∴∠OBD=180°-60°-30°=90°，
∴OB⊥BD，
∵OB是半徑，
∴BD是⊙0的切線；

（2）解：∵OD⊥AB，OD過O，
∴BE=AE，
∴AC=BC，
∵AC=3，
∴BC=3，
∵∠BOD=60°，OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=BC=3，
即⊙O的半徑等于3．
點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)和判定，垂徑定理，線段垂直平分線性質(zhì)等知識點的綜合運用．