Question

【題目】先化簡(jiǎn),再求值：

閱讀材料，大數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)讀書(shū)時(shí)曾經(jīng)研究過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題：1+2+3+…+100＝？經(jīng)過(guò)研究，這個(gè)問(wèn)題的一般性結(jié)論是1+2+3+…+，其中ｎ是正整數(shù)�，F(xiàn)在我們來(lái)研究一個(gè)類(lèi)似的問(wèn)題：1×2+2×3+…＝？

觀(guān)察下面三個(gè)特殊的等式

將這三個(gè)等式的兩邊相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝

讀完這段材料，請(qǐng)你思考后回答：（只需寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)中間的過(guò)程）

（1）　　　　　

（2）1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n+1)= 　　　　　

（3）　　　　　　　

Answer 1

【答案】（1）343400；（2）n（n+1）（n+2）；（3）n（n+1）（n+2）（n+3）．

【解析】

（1）根據(jù)三個(gè)特殊等式相加的結(jié)果，代入熟記進(jìn)行計(jì)算即可求解；

（2）先對(duì)特殊等式進(jìn)行整理，從而找出規(guī)律，然后把每一個(gè)算式都寫(xiě)成兩個(gè)兩個(gè)算式的運(yùn)算形式，整理即可得解；

（3）根據(jù)（2）的求解規(guī)律，利用特殊等式的計(jì)算方法，先把每一個(gè)算式分解成兩個(gè)算式的運(yùn)算形式，整理即可得解．

因?yàn)?/span>1×2+2×3+3×43×4×5=20，即1×2+2×3+3×43×（3+1）×（3+2）=20，故：

（1）原式100×（100+1）×（100+2）100×101×102=343400；

（2）原式n（n+1）（n+2）；

（3）∵1×2×3=[1×2×3×4﹣0×1×2×3]，2×3×4=[2×3×4×5﹣1×2×3×4]，...，n（n+1）（n+2）= [n（n+1）（n+2）（n+3）﹣n（n﹣1）（n+1）（n+2）]

∴原式=[1×2×3×4﹣0×1×2×3]+ [2×3×4×5﹣1×2×3×4]+...+ [n（n+1）（n+2）（n+3）﹣n（n﹣1）（n+1）（n+2）]=n（n+1）（n+2）（n+3）．

故答案為：343400；n（n+1）（n+2）；n（n+1）（n+2）（n+3）．