Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AC＝BC，D在BC上，P是射線(xiàn)AD上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）如圖①，若∠ACB＝90°，AC＝8，CD＝6，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上，且△PCD是等腰三角形時(shí)，求AP長(zhǎng)．

（2）如圖②，若∠ACB＝90°，∠APC＝45°，當(dāng)點(diǎn)P在AD延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，探究PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（3）類(lèi)比探究：如圖③，若∠ACB＝120°，∠APC＝30°，當(dāng)點(diǎn)P在AD延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出表示PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系的等式．

Answer 1

【答案】（1）滿(mǎn)足條件的AP的值為2.8或4或5；（2）PA﹣PB＝PC．理由見(jiàn)解析；（3）PA﹣PB＝PC．理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）如圖①中，作CH⊥AD于H．利用面積法求出CH，利用勾股定理求出DH，再求出PD，接下來(lái)分三種情形解決問(wèn)題即可；

（2）結(jié)論：PA﹣PB＝PC．如圖②中，作EC⊥PC交AP于E．只要證明△ACE≌△BCP即可解決問(wèn)題；

（3）結(jié)論：PA﹣PB＝PC．如圖③中，在AP上取一點(diǎn)E，使得∠ECP＝∠ACB＝120°．只要證明△ACE≌△BCP即可解決問(wèn)題；

（1）如圖①中，作CH⊥AD于H．

在Rt△ACD中，AD＝＝10，

∵×AC×DC＝×AD×CH，

∴CH＝，

∴DH＝＝，

①當(dāng)CP＝CD，∵CH⊥PD，

∴PH＝DH＝，

∴PD＝，

∴PA＝AD﹣PD＝10﹣＝．

②當(dāng)CD＝DP時(shí)，DP＝6．AP＝10﹣6＝4，

③當(dāng)CP＝PD時(shí)，易證AP＝PD＝5，

綜上所述，滿(mǎn)足條件的AP的值為2.8或4或5．

（2）結(jié)論：PA﹣PB＝PC．

理由：如圖②中，作EC⊥PC交AP于E．

∵∠PCE＝90°，∠CPE＝45°，

∴∠CEP＝∠CPE＝45°，

∴CE＝CP，PE＝PC，

∵∠ACB＝∠ECP＝90°，

∴∠ACE＝∠BCP，

∵CA＝CB，

∴△ACE≌△BCP，

∴AE＝PB，

∴PA﹣PB＝PA﹣EA＝PE＝PC，

∴PA﹣PB＝PC．

（3）結(jié)論：PA﹣PB＝PC．

理由：如圖③中，在AP上取一點(diǎn)E，使得∠ECP＝∠ACB＝120°．

∵∠CEP＝180°﹣120°﹣30°＝30°，

∴∠CEP＝∠CPE，

∴CE＝CP．作CH⊥PE于H，則PE＝PC，

∵∠ACB＝∠ECP，

∴∠ACE＝∠BCP，

∵CA＝CB，

∴△ACE≌△BCP，

∴AE＝PB，

∴PA﹣PB＝PA﹣EA＝PE＝PC．