Question

如圖，Rt△ABC中，O是斜邊BC的中點(diǎn)．P是AB邊上一點(diǎn)，且∠APO=∠C，已知PA=5，PB=3，則PO=________．

Answer 1

分析：作輔助線AO，構(gòu)建直角三角形ABC斜邊BC上的中線、相似三角形Rt△APO∽Rt△BCA；利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得OA=OB=OC；然后利用相似三角形Rt△APO∽Rt△BCA的對應(yīng)邊成比例求得=，即，并求得OA=2；最后在Rt△APO中，由勾股定理解得PO=．
解答：解：連接AO．
∵Rt△ABC中，O是斜邊BC的中點(diǎn)，
∴OA=OB=OC，
∴∠C=∠OAC；
∵∠APO=∠C，∠BAC=90°，
∴∠PAO+∠OAC=∠PAO+∠APO=90°，
∴∠POA=90°；
在Rt△APO和Rt△BCA中，
，
∴Rt△APO∽Rt△BCA（AA），
∴=；
又∵PA=5，PB=3，
∴，
解得，OA=2；
在Rt△APO中，PO==．
故答案是：．
點(diǎn)評：本題考查了直角三角形的斜邊上的中線、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．解得該題時(shí)，作輔助線OA，構(gòu)建直角三角形ABC斜邊BC上的中線、相似三角形Rt△APO∽Rt△BCA是解題的關(guān)鍵．