Question

如圖，已知A是⊙O上一點，以A為圓心作圓交⊙O于B、C兩點，E是弦BC上一點，連接AE并延長⊙O于D，連接BD、CD．設∠BDC=2α．
（1）求證：BD•CD=AD•ED；
（2）若ED：AD=cos²α，求作一個以和為根的一元二次方程，并求出的值．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接AB、AC．
∵A是⊙O上一點，以A為圓心作圓交⊙O于B、C兩點，
∴AB=AC，=，
∴∠ADB=∠ADC，．
又∵∠BAD=∠BCD，
∴△DBA∽△DEC，
∴BD：DE=AD：CD，
∴BD•CD=AD•ED；

（2）如圖，過點A作AF⊥BC于點F．則F為BC的中點．
∵∠BDC=2α．
∴∠ACB=∠ABC=α，則FC=AC•cosα，
∴BC=2FC=2AC•cosα．
∵∠ABE=∠ADB，∠BAD=∠BAE，
∴△ABE∽△ADB，
∴=．
同理，△AEC∽△ACD，則=，
∴+=+===2cosα．
又由（1）知，BD•CD=AD•ED，
∴•===cos²α，
∴以和為根的一元二次方程為x²-2cosα•x+cos²α=0．
解得，x₁=cosα，x₂=cosα．
當BD＜CD時，===；
當BD＞CD時，===3．
分析：（1）如圖，連接AB、AC．通過證明△DBA∽△DEC，得到對應邊成比例，即BD：DE=AD：CD，所以BD•CD=AD•ED；
（2）如圖，過點A作AF⊥BC于點F．則F為BC的中點．通過△ABE∽△ADB的對應邊成比例得到=．通過△AEC∽△ACD的對應邊成比例得到=，然后求得以和為根的一元二次方程兩根之和和兩根之積分別是+=2cosα，•===cos²α，所以該方程為x²-2cosα•x+cos²α=0．解得，x₁=cosα，x₂=cosα．需要分類討論：當BD＜CD時，===；當BD＞CD時，===3．
點評：本題綜合考查了相交兩圓的性質(zhì)，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)以及一元二次方程等知識點．難度比較大．