Question

【題目】如圖在中，，以為直角邊作等腰，，斜邊交與點。

（1）如圖1，若，作于，求線段的長；

（2）如圖2，作，且，連接，且為中點，求證：。

Answer 1

【答案】（1）；

（2）證明見詳解.

【解析】

（1）由直角三角形的性質可求，，由等腰直角三角形的性質可得，即可求的長；

（2）過點A作AM⊥BC，由平行線分線段成比例可得CD=2CN，AN=BD，由“SAS”可證△ACN≌△CFB，可得結論

解：（1）∵∠ABC=60°，EH⊥BC，
∴是等邊三角形，并且根據(jù)等邊三角形的性質，EH垂直于∠ABC的角平分線，

∴∠BEH=30°，
∴BE=2BH=4，，

∴，，

∵∠CBD=90°，BD=BC，
∴∠BCD=45°，且EH⊥BC，
∴∠BCD=∠BEC=45°，

∴，

∴；

（2）如圖，過點A作AM⊥BC，交DC，BC于N，M兩點，

∵AB=AC，AM⊥BC，

∴，

∵，，
∴，

∴，

∵AM∥DB，

∴ ，

∴，

并且為中點，即，

∴

∴，，
∵，，
∴，且，
∴，且，，
∴（SAS）
∴，
∴ ，