Question

如圖，在正方形ABCD中，以對角線AC為一邊作一等邊△ACE，連接ED并延長交AC于點F．
（Ⅰ）求證：EF⊥AC；
（Ⅱ）延長AD交CE于點G，試確定線段DG和線段DE的數(shù)量關系．

Answer 1

（1）證明：由已知，得，
∴△AED≌△CED，
∴∠AED=∠CED，
又∵△AEC為等邊三角形，
∴EF⊥AC；

（2）解法一：
過G作GM⊥EF，垂足為M，
由已知和（Ⅰ），得
∠AED=∠CED=30°，∠EAD=15°
∴∠EDG=45°，
∴MD=GM
設GM=x，則DG=
在Rt△MEG中，EG=2MG=2x，
∴EM=
∴ED=+x=（）x
∴
即DE=DG（或）

解法二：
過E作EM⊥AD，垂足為M
在Rt△MDE中，
∵∠EDM=∠MED=45°，
∴EM=DM
設EM=DM=x，
則DE=x
在Rt△AEF中，cot30°=，
∴DF=AF=
∴AD=
=
∵△CDG∽△AME，
∴
即
∴DG=
∴
即（或）．
分析：（1）可由SSS證得△AED≌△CED，得到∠AED=∠CED，根據等腰三角形的性質：頂角的平分線與底邊上的高重合知，EF⊥AC；
（2）過G作GM⊥EF，垂足為M，則可證得△DMG為等腰直角三角形，△MGE為含30度角的直角三角形，進而設出參數(shù)，解△DMG和，△MGE這兩個直角三角形，求得DG與DE的比．
點評：本題利用了等邊三角形和等腰直角三角形的性質，直角三角形的性質，銳角三角函數(shù)的概念求解．