Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓與AC，AB分別交與點(diǎn)D，E，且∠CBD=∠A．

（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（2）若AD：AO=6：5，BC=3，求BD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：

切線的判定．

分析：

（1）連接OD，DE，求出∠ADE=90°=∠C推出DE∥BC∴∠EDB=∠CBD=∠A，根據(jù)∠A+∠OED=90°求出∠EDB+∠ODE=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；  

（2）求出AD：DE：AE=6：8：10，求出△ADE∽△ACB，推出DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10，代入求出即可．

解答：

（1）直線BD與⊙O的位置關(guān)系是相切，

證明：連接OD，DE，

∵∠C=90°，

∴∠CBD+∠CDB=90°，

∵∠A=∠CBD，

∴∠A+∠CDB=90°，

∵OD=OA，

∴∠A=∠ADO，

∴∠ADO+∠CDB=90°，

∴∠ODB=180°﹣90°=90°，

∴OD⊥BD，

∵OD為半徑，

∴BD是⊙O切線；

（2）解：∵AD：AO=6：5，

∴=，

∴由勾股定理得：AD：DE：AE=6：8：10，

∵AE是直徑，

∴∠ADE=∠C=90°，

∵∠CBD=∠A，

∴△ADE∽△ACB，

∴DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10，

∵BC=3，

∴BD=．

點(diǎn)評：

本題考查了切線的判定，平行線性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．