Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn) A的坐標(biāo)為（1，0），OB=OC，拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若此拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)P滿足∠APB=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（1）的條件下，對(duì)于實(shí)數(shù)c、d，我們可用min{ c，d }表示c、d兩數(shù)中較小的數(shù)，如min{3，}=.若關(guān)于x的函數(shù)y = min{，}的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，試討論其與動(dòng)直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）、；

（3）當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線與函數(shù)圖象無交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線與函數(shù)圖象有唯一的一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線與函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線與函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線與函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線與函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）首先將已知的拋物線解析式進(jìn)行配方，得出對(duì)稱軸方程后結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)可確定B點(diǎn)的坐標(biāo)，由OB=OC的條件能得到C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定函數(shù)的解析式．

（2）此題需要進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，首先作△ABC的外切圓，根據(jù)圓周角定理可知：P點(diǎn)應(yīng)為拋物線對(duì)稱軸與⊙E的交點(diǎn)，那么只需求出圓心E的坐標(biāo)和⊙E的半徑即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．首先由A、B的坐標(biāo)可確定F點(diǎn)的坐標(biāo)以及AF的長(zhǎng)，而弦BC的垂直平分線過點(diǎn)E，由此可確定該中垂線的解析式，進(jìn)一步可確定點(diǎn)E的坐標(biāo)；然后在Rt△AEF中，通過解直角三角形可得到圓的半徑長(zhǎng)，由此求出全部條件；

（3）由題意可知所求得的函數(shù)的解析式為，由函數(shù)圖象分、、、、、、等情況分析.

（1）∵ ，

∴ 拋物線的對(duì)稱軸為直線．

∵ 拋物線與x軸交于

點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

∴ 點(diǎn)B的坐標(biāo)為，OB＝3．

可得該拋物線的解析式為．

∵ OB=OC，拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，

∴ OC=3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入該解析式，解得a=1．

∴ 此拋物線的解析式為．

（2）作△ABC的外接圓☉E，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)☉E與拋物線的對(duì)稱軸位于x軸上方的部分的交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)均為所求點(diǎn).

可知圓心E必在AB邊的垂直平分線即拋物線的對(duì)稱軸直線上．

∵、都是弧AB所對(duì)的圓周角，

∴，且射線FE上的其它點(diǎn)P都不滿足．

由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．

可得圓心E也在BC邊的垂直平分線即直線上．

∴ 點(diǎn)E的坐標(biāo)為．

∴ 由勾股定理得 ．

∴ ．

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為．

由對(duì)稱性得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

∴符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為、.

（3）由題意可知，原二次函數(shù)的解析式為可得，

所求得的函數(shù)的解析式為

由函數(shù)圖象可知：當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線與函數(shù)圖象無交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線與函數(shù)圖象有唯一的一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線與函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線與函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線與函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線與函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn).

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題

點(diǎn)評(píng)：這道二次函數(shù)題由于融合了圓、解直角三角形、軸對(duì)稱圖形等重點(diǎn)知識(shí)，難度較大；（2）中，將角相等轉(zhuǎn)化為圓的相關(guān)問題是打開解題突破口的關(guān)鍵，應(yīng)注意并總結(jié)轉(zhuǎn)化思想在解題中的妙用．