Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，已知A（0，4）、C（5，0）．作∠AOC的角平分線交AB于點D，連接DC，過D作DE⊥DC交OA于點E．
（1）求點D的坐標(biāo)；
（2）求證：△ADE≌△BCD；
（3）拋物線y=x²-x+4經(jīng)過A、C兩點，連接AC．探索：若點P是x軸下方拋物線上一動點，求點P作平行于y軸的直線交AC于點M．是否存在點P，使線段MP長度有最大值？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請你說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)OD平分∠AOC，可得∠ADO=∠DOC，再由AOBC是矩形，進一步得到∠AOD=∠ADO，根據(jù)等角對等邊可得到OA=AD，進而求出D點坐標(biāo)；
（2）四邊形AOCB是矩形，得到∠OAB=∠B=90°，BC=OA，進而證明出AD=BC，再根據(jù)角之間的等量關(guān)系∠ADE=∠BCD，于是可證明出△ADE≌△BCD；
（3）設(shè)P點坐標(biāo)為（t，t²-t+4），設(shè)AC所在的直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，根據(jù)A（0，4）、C（5，0），求出AC的解析式，進而用t表示出PM的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出PM的最值，點P的坐標(biāo)也可以求出．
解答：（1）解：OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOC，
∵四邊形AOCB是矩形，
∴AB∥OC，
∴∠ADO=∠DOC，
∴∠AOD=∠ADO，
∴OA=AD（等角對等邊），
∴D點的坐標(biāo)為（4，4），

（2）證明：∵四邊形AOCB是矩形，
∴∠OAB=∠B=90°，BC=OA，
∵OA=AD，
∴AD=BC，
∵ED⊥DC，
∴∠EDC=90°，
∴∠ADE+∠BDC=90°，
∴∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADE=∠BCD，
在△ADE和△BCD中，
，
∴△ADE≌△BCD（ASA），

（3）解：存在．
∵二次函數(shù)的解析式為：y=x²-x+4，點P是拋物線上的一動點，
∴設(shè)P點坐標(biāo)為（t，t²-t+4），
設(shè)AC所在的直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，A（0，4）、C（5，0），
∴，
∴k=-，b=4，
∴直線AC的解析式為y=-x+4，
∵PM∥y軸，
設(shè)M（t，-t+4），
PM=-（t²-t+4）+（-t+4）
=-t²+4t
=-（t-）²+5，
當(dāng)t=時，PM有最大值為5，
∴所求的P點坐標(biāo)為（，-3）．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識點，此題設(shè)計了三角形全等的證明，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)最值的求解，難度較大，希望同學(xué)們仔細思考．