Question

如圖，拋物線經(jīng)過A（4，0）、B（1，0）、C（0，-2）三點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）P是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用交點(diǎn)式，設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-4）（x-1），進(jìn)而代入（0，-2）求出a的值，即可得出答案；
（2）首先表示出P點(diǎn)坐標(biāo)（m，-

1

2

m²+

5

2

m-2），進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)分別得出m的值，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為：
y=a（x-4）（x-1），
把c（0，-2）帶入得a=-

1

2

，
∴拋物線解析式為：y=-

1

2

（x-4）（x-1）=-

1

2

x²+

5

2

x-2；

（2）如圖，設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則P點(diǎn)縱坐標(biāo)為：-

1

2

m2+

5

2

m-2，
因?yàn)镻是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，所以1＜m＜4，
AM=4-m，PM=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
①當(dāng)

AM

PM

=

AO

CO

=

2

1

時(shí)，
△APM∽△ACO，
即4-m=2（-

1

2

m²+

5

2

m-2），
解得m₁=2，m₂=4（舍去），
∴P（2，1），
②當(dāng)

AM

PM

=

CO

AO

=

1

2

時(shí)，△APM∽△CAO，
即4-m=

1

2

（-

1

2

m²+

5

2

m-2），
解得m₃=4，m₄=5（均不合題意，舍去），
∴1＜m＜4時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）．

點(diǎn)評：此題主要考查了交點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．