Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,0),(3,0)，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD.

(1)求點(diǎn)C,D的坐標(biāo)及四邊形ABDC的面積S四邊形ABDC；
(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)P,連接PA,PB,使S△PAB=S四邊形ABDC?若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由；
(3)點(diǎn)P是直線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PO，當(dāng)點(diǎn)P在直線BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠OPC與∠PCD、∠POB的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】(1) C(0,2),D(4,2)，S四邊形ABDC=8.
(2)存在.證明見解析.

(3) ①∠OPC=∠PCD+∠POB；
②∠OPC=∠POB∠PCD；

③∠OPC=∠PCD∠POB.

【解析】

（1）根據(jù)C、D兩點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置即可得出此兩點(diǎn)坐標(biāo)；判斷出四邊形ABDC是平行四邊形，再求出其面積即可；
（2）設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h，則S△PAB=×AB×h=2h，由S△PAB=S四邊形ABDC，得2h=8，求出h=4，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，故可得出CD∥PQ，AB∥PQ，由平形線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

(1)依題意,得C(0,2),D(4,2)，四邊形ABDC是平行四邊形，
∴S四邊形ABDC=AB×OC=4×2=8；
(2)存在.理由如下：
設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h,則S△PAB=×AB×h=2h，
∵S△PAB=S四邊形ABDC，
∴2h=8，
解得：h=4,
∴P(0,4)或(0,4)；
(3)過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，交y軸于點(diǎn)Q，
∵四邊形ABDC是平行四邊形，
∴CD∥PQ，
①點(diǎn)P在線段BD上，如圖1所示：

∵CD∥PQ,AB∥PQ，
∴∠CPQ=∠PCD,∠OPQ=∠POB,
∴∠OPC=∠CPQ+∠OPQ=∠PCD+∠POB
②點(diǎn)P在BD延長(zhǎng)線上，且在CD的上方時(shí)，
如圖2所示：

∵CD∥PQ,AB∥PQ，
∴∠CPQ=∠PCD，∠OPQ=∠POB，
∴∠OPC=∠OPQ∠CPQ=∠POB∠PCD；
③點(diǎn)P在DB延長(zhǎng)線上,且在AB的下方時(shí),
如圖3所示：

∵CD∥PQ,AB∥PQ，
∴∠CPQ=∠PCD，∠OPQ=∠POB，
∴∠OPC=∠CPQ∠OPQ=∠PCD∠POB.