Question

【題目】如圖，四邊形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．

（1）試探究箏形對角線之間的位置關系，并證明你的結論;
（2）在箏形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC＞AB，BD、AC為對角線，BD=8，
①是否存在一個圓使得A，B，C，D四個點都在這個圓上？若存在，求出圓的半徑；若不存在，請說明理由；
②過點B作BF⊥CD，垂足為F，BF交AC于點E，連接DE，當四邊形ABED為菱形時，求點F到AB的距離．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：猜想：箏形對角線之間的位置關系：垂直．即OT⊥MN．

證明：連接OT，MN，

在△OMT和△ONT中，

，

∴△OMT≌△ONT（SSS），

∴∠MOT=∠NOT，

∵OM=ON，

∴OT⊥MN（等腰三角形三線合一）．

（2）

【解答】

①存在．

由（1）得AC⊥BD，設AC與BD交于點M，

在Rt△AMB中，AB=5，BM=BD=4，

∴AM==3，

∵A、B、C、D四點共圓，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

又∵△ABC≌△ADC，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

∴AC即為所求圓的直徑

∵∠BAM=∠BAC，∠ABC=∠AMB=90°，

∴△ABM∽△ACB，

∴=，即=，

∴AC=

∴圓的半徑為：AC=．

②作FM⊥AB，作EG⊥AB于G．

∵四邊形ABED是菱形，

∴AE⊥BD，且BN=BD=4，

∴AN=NE===3，AE=6．

∴S菱形ABED=AEBD=×6×8=24，

又∵S菱形ABED=ABEG，

∴EG=．

∵∠DBF=∠DBF，∠BNE=∠BFD，

∴△BNE∽△BFD，

∴，即，

∴BF=．

∵GE⊥AB，F(xiàn)M⊥AB，

∴GE∥FM，

∴△BEG∽△BFM，

∴，即，

解得：FM=．

【解析】（1）證明△OMP≌△ONP，即可證得MN⊥OT，且OT平分MN；
（2）①若經(jīng)過A，B，C，D四個點的圓存在，則對角互補，據(jù)此即可判斷；
②已知FM⊥AB，作EG⊥AB于G，根據(jù)菱形的面積公式求得GE的長，然后根據(jù)△BNE∽△BFD求得BF的長，再根據(jù)△BEG∽△BFM求得FM的長．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的相關知識點，需要掌握相似三角形的切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．