Question

如圖1，將長方形紙片沿對角線AC折疊，使點D與點M重合，AM與DC交于點N，請判斷△CAN的形狀并說明理由．如圖2，將長方形紙片ABCD折疊，使邊DC落在對角線AC上，折痕為CE，且D點落在D′處，若AB=3，AD=4，AC=5，求AE的長．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：如圖1，證明∠DAC=∠ACN；進而證明∠ACN=∠NAC，即可解決問題．
如圖2，證明∠AD′E=90°；設(shè)AE=λ，則D′E=DE=4-λ，由勾股定理列出方程λ²=2²+（4-λ）²，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACN；
由題意得：∠DAC=∠NAC，
∴∠ACN=∠NAC，
∴AN=CN，△ANC為等腰三角形．
（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，DC=AB=3；
由題意得：∠AD′E=∠D=90°，D′C=DC=3，
∴AD′=5-3=2；設(shè)AE=λ，則D′E=DE=4-λ，
由勾股定理得：λ²=2²+（4-λ）²，
解得：λ=2.5，
即AE的長=2.5．

點評：該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．