【題目】如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,已知B(-1,0),拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線
.
(1)直接寫(xiě)出拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)E是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),線段EF的長(zhǎng)度最長(zhǎng)?
(3)在拋物線是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)當(dāng)E(2,2), AC的中點(diǎn)時(shí),線段EF的長(zhǎng)度最長(zhǎng);(3)存在,(2,6)或(﹣2,﹣6)
【解析】
(1)把B點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸代入解析式即可求解;
(2)先求出A,C的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線AC的解析式,E(n,-n+4),則F(n,-n2+3n+4),再表示出EF關(guān)于n的二次函數(shù)故可求解;
(3)分當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)和點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),根據(jù)等腰直角三角形的特點(diǎn)分別列方程求解.
解:(1)∵B(-1,0),拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線.
∴
解得
∴y=﹣x2+3x+4;
(2)令x=0,得y=4
∴C(0,4)
令y=﹣x2+3x+4=0
解得x1=4,x2=-1
∴A(4,0),
設(shè)直線AC的解析式為y=px+q
把A(4,0),C(0,4)代入得
解得
∴直線AC的解析式為:y=-x+4
設(shè)E(n,-n+4),則F(n,-n2+3n+4)
∴EF=-n2+3n+4- (-m+4)= -n2+4n= -(n-2)2+4
∴當(dāng)n=2時(shí),線段EF的長(zhǎng)度最長(zhǎng),
此時(shí)E(2,2),即為AC的中點(diǎn)的位置;
(3)存在.
第一種情況,當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí),過(guò)點(diǎn)C作CP1⊥AC,交拋物線于點(diǎn)P1.過(guò)點(diǎn)P1作y軸的垂線,垂足是M.
∵∠ACP1=90°,
∴∠MCP1+∠ACO=90°.
∵∠ACO+∠OAC=90°,
∴∠MCP1=∠OAC.
∵OA=OC,
∴∠MCP1=∠OAC=45°,
∴∠MCP1=∠MP1C,
∴MC=MP1,
設(shè)P(m,﹣m2+3m+4),
則m=﹣m2+3m+4﹣4,
解得:m1=0(舍去),m2=2.
∴﹣m2+3m+4=6,
即P(2,6).
第二種情況,當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),過(guò)A作AP2,AC交拋物線于點(diǎn)P2,過(guò)點(diǎn)P2作y軸的垂線,垂足是N,AP交y軸于點(diǎn)F.
∴P2N∥x軸,
由∠CAO=45°,
∴∠OAP=45°,
∴∠FP2N=45°,AO=OF.
∴P2N=NF,
設(shè)P2(n,﹣n2+3n+4),
則 -n+4=-(-n2+3n+4),
解得:n1=﹣2,n2=4(舍去),
∴﹣n2+3n+4=﹣6,
則P2的坐標(biāo)是(﹣2,﹣6).
綜上所述,P的坐標(biāo)是(2,6)或(﹣2,﹣6).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為元的臺(tái)燈以
元售出,平均每月能售出
個(gè),調(diào)查表明:這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲
元,其銷(xiāo)售量就減少
個(gè).
為了實(shí)現(xiàn)平均每月
元的銷(xiāo)售利潤(rùn),這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少?這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺(tái)燈個(gè)?
如果商場(chǎng)要想每月的銷(xiāo)售利潤(rùn)最多,這種臺(tái)燈的售價(jià)又將定為多少?這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺(tái)燈多個(gè)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】墊球是排球隊(duì)常規(guī)訓(xùn)練的重要項(xiàng)目之一.下列圖表中的數(shù)據(jù)是甲、乙、丙三人每人十次墊球測(cè)試的成績(jī).測(cè)試規(guī)則為連續(xù)接球10個(gè),每墊球到位1個(gè)記1分.
運(yùn)動(dòng)員甲測(cè)試成績(jī)表
測(cè)試序號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
成績(jī)(分) | 7 | 6 | 8 | 7 | 7 | 5 | 8 | 7 | 8 | 7 |
(1)寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)員甲測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)為_____;運(yùn)動(dòng)員乙測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為_____;運(yùn)動(dòng)員丙測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)為_____;
(2)經(jīng)計(jì)算三人成績(jī)的方差分別為S甲2=0.8、S乙2=0.4、S丙2=0.8,請(qǐng)綜合分析,在他們?nèi)酥羞x擇一位墊球成績(jī)優(yōu)秀且較為穩(wěn)定的接球能手作為自由人,你認(rèn)為選誰(shuí)更合適?為什么?
(3)甲、乙、丙三人相互之間進(jìn)行墊球練習(xí),每個(gè)人的球都等可能的傳給其他兩人,球最先從甲手中傳出,第三輪結(jié)束時(shí)球回到甲手中的概率是多少?(用樹(shù)狀圖或列表法解答)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】鄭州市采暖季出現(xiàn) PM2.5 污染,小明媽媽收集了一個(gè)月(30 天)的 PM2.5 污染指數(shù),記錄如下:(單位:μg/m3)說(shuō)明:0-50 優(yōu),51-100 良,101-150 輕度污染,151-200 中度污染,201-250 重度污染,251 以上嚴(yán)重污染.117,171,170, 208,192,120,243,256,56,115,166,155,156,187,114,49,55, 95,148,160,15,31,62,174,183,162,131,112,96,71對(duì)這 30 個(gè)數(shù)據(jù)按組距 50 進(jìn)行分組,并統(tǒng)計(jì)整理,繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
(1)填空:a= ,b= ;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)這 30 天 PM2.5 污染指數(shù)的中位數(shù)落在 組;
(4)若一個(gè)采暖季為 120 天,請(qǐng)估計(jì)空氣污染指數(shù)不低于 100 的天數(shù)(結(jié)果取整數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為﹣2,現(xiàn)將拋物線向右平移2個(gè)單位,得到拋物線y=a1x2+b1x+c1,則下列結(jié)論正確的是 .(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))
①b>0
②a﹣b+c<0
③陰影部分的面積為4
④若c=﹣1,則b2=4a.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=x和y=﹣
x的圖象分別為直線l1,l2,過(guò)l1上的點(diǎn)A1(1,
)作x軸的垂線交l2于點(diǎn)A2,過(guò)點(diǎn)A2作y軸的垂線交l1于點(diǎn)A3,過(guò)點(diǎn)A3作x軸的垂線交l2于點(diǎn)A4,…依次進(jìn)行下去,則點(diǎn)A2019的橫坐標(biāo)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司利用假期組織部分員工分別到A、B、C、D四地旅游,公司按定額購(gòu)買(mǎi)了前往各地的車(chē)票.下圖是車(chē)票種類(lèi)和數(shù)量的條形統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖回答下列問(wèn)題:
(1)若公司采用隨機(jī)抽取的方式分發(fā)車(chē)票,每人抽取一張(所有車(chē)票的形狀、大小、質(zhì)地完全相同且充分洗勻),則員工小張抽到去D地的概率是_____;
(2)若有一張車(chē)票,小王、小李都想要,決定采取拋擲一枚各面分別標(biāo)有1,2,3,4的正四面體骰子的方法來(lái)確定,具體規(guī)則是:“每人各拋擲一次,若小王擲得著地一面的數(shù)字比小李擲得著地一面的數(shù)字小,車(chē)票給小王,否則給小李”.試用“列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖”的方法分析,這個(gè)規(guī)則對(duì)雙方是否公平?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的解析式是y=x2﹣2x﹣3.
(1)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)是 .
(2)在坐標(biāo)系中利用描點(diǎn)法畫(huà)出此拋物線;
x | … | … | |||||
y | … | … |
(3)結(jié)合圖象回答:當(dāng)﹣2<x<2時(shí),函數(shù)值y的取值范圍是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲車(chē)從地出發(fā)勻速駛向
地,到達(dá)
地后,立即按原路原速返回
地;乙車(chē)從
地出發(fā)沿相同路線勻速駛向
地,出發(fā)
小時(shí)后,乙車(chē)因故障在途中停車(chē)
小時(shí),然后繼續(xù)按原速駛向
地,乙車(chē)在行駛過(guò)程中的速度是
千米/時(shí),甲車(chē)比乙車(chē)早
小時(shí)到達(dá)
地,兩車(chē)距各自出發(fā)地的路程
千米與甲車(chē)行駛時(shí)間
小時(shí)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,請(qǐng)結(jié)合圖象信息解答下列問(wèn)題:
(1)寫(xiě)出甲車(chē)行駛的速度,并直接寫(xiě)出圖中括號(hào)內(nèi)正確的數(shù)__ __
(2)求甲車(chē)從地返回
地的過(guò)程中,
與
的函數(shù)關(guān)系式(不需要寫(xiě)出自變量
的取值范圍).
(3)直接寫(xiě)出甲車(chē)出發(fā)多少小時(shí),兩車(chē)恰好相距千米.
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