Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知B（-1，0），拋物線的對(duì)稱軸是直線．

（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)E是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度最長(zhǎng)？

（3）在拋物線是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+4；（2）當(dāng)E(2，2)， AC的中點(diǎn)時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度最長(zhǎng)；（3）存在，(2，6)或(﹣2，﹣6)

【解析】

（1）把B點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸代入解析式即可求解；

（2）先求出A,C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AC的解析式，E（n，-n+4），則F（n，-n2+3n+4），再表示出EF關(guān)于n的二次函數(shù)故可求解；

（3）分當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)和點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)等腰直角三角形的特點(diǎn)分別列方程求解．

解：（1）∵B（-1，0），拋物線的對(duì)稱軸是直線．

∴

解得

∴y=﹣x2+3x+4；

（2）令x=0，得y=4

∴C（0，4）

令y=﹣x2+3x+4=0

解得x1=4,x2=-1

∴A（4，0），

設(shè)直線AC的解析式為y=px+q

把A（4，0），C（0，4）代入得

解得

∴直線AC的解析式為:y=-x+4

設(shè)E（n，-n+4），則F（n，-n2+3n+4）

∴EF=-n2+3n+4- (-m+4)= -n2+4n= -(n-2)2+4

∴當(dāng)n=2時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，

此時(shí)E（2，2），即為AC的中點(diǎn)的位置；

（3）存在．

第一種情況，當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)C作CP1⊥AC，交拋物線于點(diǎn)P1．過點(diǎn)P1作y軸的垂線，垂足是M．

∵∠ACP1=90°，

∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠MCP1=∠OAC=45°，

∴∠MCP1=∠MP1C，

∴MC=MP1，

設(shè)P（m，﹣m2+3m+4），

則m=﹣m2+3m+4﹣4，

解得：m1=0（舍去），m2=2．

∴﹣m2+3m+4=6，

即P（2，6）．

第二種情況，當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過A作AP2，AC交拋物線于點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點(diǎn)F．

∴P2N∥x軸，

由∠CAO=45°，

∴∠OAP=45°，

∴∠FP2N=45°，AO=OF．

∴P2N=NF，

設(shè)P2（n，﹣n2+3n+4），

則 -n+4=-(-n2+3n+4），

解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），

∴﹣n2+3n+4=﹣6，

則P2的坐標(biāo)是（﹣2，﹣6）．

綜上所述，P的坐標(biāo)是（2，6）或（﹣2，﹣6）．