Question

【題目】在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180°），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P．

（1）如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，線段BD1的長(zhǎng)等于　　　　　　，線段CE1的長(zhǎng)等于　　　　　　；（直接填寫結(jié)果）

（2）如圖2，當(dāng)α=135°時(shí)，求證：BD1=CE1，且BD1⊥CE1.

Answer 1

【答案】（1）2； 2；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理分別得出BD1的長(zhǎng)和CE1的長(zhǎng)；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，進(jìn)而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案.

試題解析：（1）∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，

∴AE=AD=2，

∵等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180°），

∴當(dāng)α=90°時(shí)，AE1=2，∠E1AE=90°，

∴BD1=，E1C=；

（2）證明：當(dāng)α=135°時(shí)，如圖2，

∵Rt△AD1E是由Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到，

∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，

在△D1AB和△E1AC中

∵，

∴△D1AB≌△E1AC（SAS），

∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，

記直線BD1與AC交于點(diǎn)F，

∴∠BFA=∠CFP，

∴∠CPF=∠FAB=90°，

∴BD1⊥CE1.