Question

（2013•綿陽）如圖，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線y=

k

x

（k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F．
（1）若E是AB的中點，求F點的坐標；
（2）若將△BEF沿直線EF對折，B點落在x軸上的D點，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點E是AB中點，可求出點E的坐標，將點E的坐標代入反比例函數(shù)解析式可求出k的值，再由點F的橫坐標為4，可求出點F的縱坐標，繼而得出答案；
（2）證明∠GED=∠CDF，然后利用兩角法可判斷△EGD∽△DCF，設(shè)點E坐標為（

k

2

，2），點F坐標為（4，

k

4

），即可得CF=

k

4

，BF=DF=2-

k

4

，在Rt△CDF中表示出CD，利用對應(yīng)邊成比例可求出k的值．

解答：解：（1）∵點E是AB的中點，OA=2，AB=4，
∴點E的坐標為（2，2），
將點E的坐標代入y=

k

x

，可得k=4，
即反比例函數(shù)解析式為：y=

4

x

，
∵點F的橫坐標為4，
∴點F的縱坐標=

4

4

=1，
故點F的坐標為（4，1）；


（2）由折疊的性質(zhì)可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，
∴∠CDF=∠GED，
又∵∠EGD=∠DCF=90°，
∴△EGD∽△DCF，
結(jié)合圖形可設(shè)點E坐標為（

k

2

，2），點F坐標為（4，

k

4

），
則CF=

k

4

，BF=DF=2-

k

4

，ED=BE=AB-AE=4-

k

2

，
在Rt△CDF中，CD=

DF2-CF2

=

(2- k 4 )2-( k 4 )2

=

4-k

，
∵

CD

GE

=

DF

ED

，即

4-k

2

=

2- k 4

4- k 2

，
∴

4-k

=1，
解得：k=3．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合，解答本題的關(guān)鍵是利用點E的縱坐標，點F的橫坐標，用含k的式子表示出其他各點的坐標，注意掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，難度較大．