Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+2x的頂點為A，直線y=x﹣2與拋物線交于B，C兩點．


（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）作CD⊥x軸于點D，求證：△ODC∽△ABC；

（3）若點P為拋物線上的一個動點，過點P作PM⊥x軸于點M，則是否還存在除C點外的其他位置的點，使以O(shè)，P，M為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出這樣的P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，

∴A（1，1），

聯(lián)立直線與拋物線解析式可得 ，解得 或 ，

∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）

解：證明：

∵A（1，1），B（2，0），C（﹣1，﹣3），

∴AB= = ，BC= =3 ，AC= =2 ，

∴AB2+BC2=2+18=20=AC2，

∴△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，

∴∠ABC=∠ODC，

∵C（﹣1，﹣3），

∴OD=1，CD=3，

∴ = = ，

∴△ODC∽△ABC；

（3）

解：設(shè)M（x，0），則P（x，﹣x2+2x），

∴OM=|x|，PM=|﹣x2+2x|，

∵∠OMP=∠ABC=90°，

∴當(dāng)以△OPM與△ABC相似時，有 = 或 = 兩種情況，

①當(dāng) = 時，則 = ，解得x= 或x= ，此時P點坐標為（ ， ）或（ ，﹣ ）；

②當(dāng) = 時，則 = ，解得x=5或x=﹣1（與C點重合，舍去），此時P點坐標為（5，﹣15）；

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（ ， ）或（ ，﹣ ）或（5，﹣15）．

【解析】（1）把拋物線解析式化為頂點式可求得A點坐標，聯(lián)立直線與拋物線解析式，解方程組，可求得B、C的坐標；（2）由A、B、C三點的坐標可求得AB、BC和AC的長，可判定△ABC為直角三角形，且可得 = ，可證得結(jié)論；（3）設(shè)M（x，0），則P（x，﹣x2+2x），從而可表示出OM和PM的長，分 = 和 = 兩種情況，分別得到關(guān)于x的方程，可求得x的值，可求得P點坐標．
【考點精析】本題主要考查了兩點間的距離和勾股定理的逆定理的相關(guān)知識點，需要掌握同軸兩點求距離，大減小數(shù)就為之．與軸等距兩個點，間距求法亦如此．平面任意兩個點，橫縱標差先求值．差方相加開平方，距離公式要牢記；如果三角形的三邊長a、b、c有下面關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形才能正確解答此題．