Question

如圖所示，梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，延長(zhǎng)AB至E，使BE＝DC，試說明AC＝CE．

Answer 1

答案：
解析：

解法1：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形， 　　所以∠ADC＝∠BCD． 　　又因?yàn)镈C∥AB， 　　所以∠DCB＝∠CBE． 　　所以∠ADC＝∠CBE． 　　在△DAC和△BCE中，AD＝BC，∠ADC＝∠CBE，BE＝DC， 　　所以△DAC≌△BCE(SAS)． 　　所以AC＝CE． 　　解法2：如圖所示，連接BD， 　　因?yàn)镈C∥AB，BE是AB的延長(zhǎng)線， 　　所以DC∥BE． 　　又因?yàn)镈C＝BE， 　　所以四邊形DBEC是平行四邊形． 　　所以BD＝CE． 　　又因?yàn)锳D＝BC，DC∥AB， 　　所以四邊形DABC是等腰梯形． 　　所以AC＝BD． 　　所以AC＝CE． 　　解法3：如圖所示，過點(diǎn)D，C分別作垂線，交AE于M，F(xiàn)， 　　在△DMA與△CFB中，∠DAM＝∠CBF，AD＝BC，∠DMA＝∠CFB＝90°， 　　所以Rt△DAM≌Rt△CBF(AAS)． 　　所以AM＝BF． 　　又因?yàn)镈C∥AB，DM∥CF， 　　所以四邊形DMFC是矩形． 　　所以DC＝MF． 　　所以AM＋MF＝BF＋BE． 　　即AF＝FE． 　　所以F為AE的中點(diǎn)且CF⊥AE． 　　所以CA＝CE． 　　分析：解本題有幾種方法，下列舉出三種常見解法． 　　說明：解法1是通過證明兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而對(duì)應(yīng)邊相等．解法2中輔助線為平移對(duì)角線，即過上底一端點(diǎn)，作一對(duì)角線的平行線，轉(zhuǎn)化成平行四邊形解決問題．解法3中輔助線為高線，過上底兩端點(diǎn)向下底作垂線，把問題轉(zhuǎn)化為直角三角形來解決．