Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，D，E分別為AB，BC中點，F(xiàn)為AC上一點，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點M．
（1）點G在BE上，且∠BDG=∠C，求證：DGCF=DMEG；
（2）在圖中，取CE上一點H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1所示，

∴D，E分別為AB，BC中點，

∴DE∥AC

∵DM∥EF，

∴四邊形DEFM是平行四邊形，

∴DM=EF，

如圖2所示，

∵D、E分別是AB、BC的中點，

∴DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，

∵∠AFE=∠A，

∴∠BDE=∠AFE，

∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，

∵∠BDG=∠C，

∴∠GDE=∠FEC，

∴△DEG∽△ECF；

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴DGCF=DMEG

（2）解：如圖3所示，

∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，

∴△BDG∽△BED，

∴ ，

∴BD2=BGBE，

∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，

又∵∠FEH=∠CEF，

∴△EFH∽△ECF，

∴ = ，

∴EF2=EHEC，

∵DE∥AC，DM∥EF，

∴四邊形DEFM是平行四邊形，

∴EF=DM=DA=BD，

∴BGBE=EHEC，

∵BE=EC，

∴EH=BG=1．

【解析】（1）先判斷出四邊形DEFM是平行四邊形得到DM=EF，由D、E分別是AB、BC的中點，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根據(jù)等式性質得∠FEC=∠GDE，根據(jù)有兩對對應角相等的兩三角形相似可證代換，即可；（2）通過證明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BGBE=EHEC，又BE=EC，所以EH=BG=1
【考點精析】利用相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．