Question

在直線l的一側(cè)畫一個半圓T，C，D是T上的兩點(diǎn)，T上過C和D的切線分別交l于B和A，半圓的圓心在線段BA上，E是線段AC和BD的交點(diǎn)，F(xiàn)是l上的點(diǎn)，EF垂直l．求證：EF平分∠CFD．

Answer 1

證明：如圖，設(shè)AD與BC相交于點(diǎn)P，用O表示半圓T的圓心，
過P作PH丄l于H，連OD，OC，OP．由題意知Rt△OAD∽Rt△PAH，
于是有．
類似地，Rt△OCB∽Rt△PHB，
則有．
由CO=DO，有，從而．
由塞瓦定理的逆定理知三條直線AC，BD，PH相交于一點(diǎn)，即E在PH上，點(diǎn)H與F重合．
因∠ODP=∠OCP=90°，所以O(shè)，D，C，P四點(diǎn)共圓，直徑為OP．
又∠PFC=90°，從而推得點(diǎn)F也在這個圓上，
因此∠DFP=∠DOP=∠COP=∠CFP，
所以EF平分∠CFD．
分析：設(shè)AD與BC相交于點(diǎn)P，用O表示半圓T的圓心．過P作PH丄l于H，連OD，OC，OP．由題意知Rt△OAD∽Rt△PAH，同理可知Rt△OCB∽Rt△PHB，即可證明而，即可求證∠DFP=∠DOP=∠COP=∠CFP，即可求證EF平分∠CFD，即可解題．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的證明，考查了相似三角形對應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，考查了切線的性質(zhì)，本題中求證Rt△OAD∽Rt△PAH和Rt△OCB∽Rt△PHB是解題的關(guān)鍵．