Question

如圖，y軸的負(fù)半軸平分∠AOB，P為y軸負(fù)半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線分別交OA、OB于點(diǎn)M、N．

（1）如圖1，MN⊥y軸嗎？為什么？
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)到AB與y軸的交點(diǎn)處，其他條件都不變時(shí)，等式∠APM=

1

2

（∠OBA-∠A）是否成立？為什么？
（3）當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)到圖3處（Q為BA、NM的延長線的交點(diǎn)），其他條件都不變時(shí)，試問∠Q、∠OAB、∠OBA之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出其關(guān)系式，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用MN∥x軸即可回答．
（2）利用∠OMP=∠N，再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)即可證明．
（3）利用∠AMN=∠N，再利用∠AMN=∠Q+∠MAQ和∠OAB=∠MAQ即可證明．

解答：解：（1）MN⊥y軸
∵M(jìn)N∥x軸，
又∵∠XOP=90°，
∴∠OPN=90°，
即MN⊥y軸；

（2）∵PO平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
又∵∠MPO=∠NPO=90°
∴∠OMP=∠N．
∵∠OMP=∠A+∠APM∠APM=∠BPN，
∴∠OBA=∠BPN+∠N=∠APM+∠OMP=∠APM+（∠A+∠APM ）．
∴∠APM=

1

2

（∠OBA-∠A）；

（3）∠Q=

1

2

（∠OBA-∠OAB）
∵∠OAB=∠MAQ
∴∠AMN=∠Q+∠MAQ=∠Q+∠OAB
又∵∠AMN=∠N
∴∠N=∠Q+∠OAB
∴∠OBA=∠Q+∠N=∠Q+（∠Q+∠OAB）
即∠Q=

1

2

（∠OBA-∠OAB）．

點(diǎn)評：考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)，正確的利用∠OMN=∠ONM及三角形的外角性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．